数值分析

前言
第1章绪论1
1.1数值分析研究的对象和内容1
1.2误差来源和分类2
1.3绝对误差、相对误差与有效数字3
1.4数值计算中的若干原则5
习题19
第2章解线性方程组的直接方法10
2.1Gauss消去法11
2.1.1顺序Gauss消去法11
2.1.2列主元Gauss消去法14
2.2矩阵三角分解方法17
2.2.1Gauss消去法的矩阵运算17
2.2.2直接三角分解方法19
2.2.3平方根法25
2.2.4追赶法28
2.3解大型带状方程组的直接法31
2.4向量和矩阵的范数33
2.4.1向量的范数33
2.4.2矩阵的范数35
2.5线性方程组固有性态与误差分析38
2.5.1方程组的固有性态38
2.5.2预条件和迭代改善41
2.6解超定方程组的最小二乘法42
2.6.1最小二乘法及其性质43
2.6.2正规化方法44
习题245
第3章解线性方程组的迭代法48
3.1Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法48
3.2迭代法的一般形式与收敛性52
3.3Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法的收敛性55
3.4逐次超松弛迭代法——SOR方法57
3.5共轭梯度法60
3.5.1等价的极值问题与最速下降法61
3.5.2共轭梯度法63
习题366
第4章非线性方程求根69
4.1二分法69
4.2简单迭代法71
4.2.1简单迭代法的一般形式71
4.2.2简单迭代法的收敛条件73
4.2.3简单迭代法的收敛阶76
4.3Newton迭代法78
4.3.1Newton迭代公式79
4.3.2Newton迭代法的收敛性80
4.3.3Newton迭代法的变形82
4.4解非线性方程组的迭代法87
4.4.1Newton迭代法87
4.4.2拟Newton迭代法90
习题493
第5章矩阵特征值与特征向量的计算96
5.1乘幂法与反幂法97
5.1.1乘幂法97
5.1.2加速技术104
5.1.3反幂法106
5.2Jacobi方法108
5.2.1平面旋转矩阵108
5.2.2Jacobi方法111
5.3QR方法114
5.3.1平面反射矩阵及其性质114
5.3.2QR分解定理116
5.3.3QR方法118
习题5122
第6章函数插值与逼近125
6.1多项式插值问题125
6.2Lagrange插值多项式126
6.2.1线性插值与抛物线插值126
6.2.2n次Lagrange插值多项式128
6.2.3Lagrange插值余项129
6.3Newton插值多项式132
6.3.1差商及其性质132
6.3.2Newton插值多项式及其余项133
6.4Hermite插值多项式135
6.5分段插值多项式138
6.5.1分段Lagrange插值138
6.5.2分段三次Hermite插值140
6.6三次样条插值141
6.6.1三次样条函数141
6.6.2三转角方法142
6.6.3三弯矩方法145
6.7数据拟合的最小二乘法148
6.7.1数据拟合问题148
6.7.2数据拟合的最小二乘法149
6.8正交多项式与很好均方逼近154
6.8.1正交多项式154
6.8.2很好均方逼近158
习题6161
第7章数值积分与数值微分164
7.1数值积分概述164
7.1.1数值积分的基本概念164
7.1.2插值型数值求积公式166
7.1.3Newton-Cotes求积公式168
7.2复化求积公式173
7.3Romberg求积公式178
7.3.1区间逐次分半的梯形公式178
7.3.2Romberg求积公式180
7.4Gauss型求积公式183
7.4.1Gauss型求积公式的一般理论183
7.4.2几种Gauss型求积公式187
7.5数值微分192
7.5.1差商型数值微分公式192
7.5.2插值型数值微分公式194
习题7195
第8章常微分方程数值解法198
8.1引言198
8.1.1为什么要研究数值解法198
8.1.2构造差分方法的基本思想199
8.2改进的Euler方法和Taylor展开方法201
8.2.1改进的Euler方法201
8.2.2差分公式的误差分析203
8.2.3Taylor展开方法205
8.3Runge-Kutta方法206
8.3.1Runge-Kutta方法的构造206
8.3.2变步长Runge-Kutta方法211
8.4单步方法的收敛性和稳定性211
8.4.1单步方法的收敛性212
8.4.2单步方法的稳定性213
8.5线性多步方法215
8.5.1利用待定参数法构造线性多步方法215
8.5.2利用数值积分构造线性多步方法217
8.6常微分方程组与高阶方程的差分方法220
8.6.1一阶常微分方程组的差分方法220
8.6.2化高阶方程为一阶方程组222
8.7常微分方程边值问题的数值解法224
8.7.1打靶法224
8.7.2有限差分方法226
习题8230
第9章偏微分方程差分方法234
9.1椭圆型方程边值问题的差分方法234
9.1.1差分方程的建立234
9.1.2一般区域的边界条件处理238
9.1.3差分方程解的存在专享性与迭代求解240
9.2抛物型方程的差分方法242
9.2.1一维问题242
9.2.2差分格式的稳定性247
9.2.3高维问题250
9.3双曲型方程的差分方法253
9.3.1一阶双曲型方程253
9.3.2一阶双曲型方程组256
9.3.3二阶双曲型方程257
习题9259
习题解答261
上机实验276
参考文献287