数值计算基础

本书介绍了与大规模工程计算相关的经典数值计算方法的构造、理论及应用。内容包括非线性方程和方程组的数值解法、线性代数方程组数值解法、插值法与数值逼近、数值积分、矩阵特征值计算、常微分方程数值解法等。同时，对数值计算方法的误差分析、计算效率、收敛性、稳定性、适用范围及优缺点也做了必要的分析与介绍。 本书可作为高等院校各类工科专业本科生、研究生和数学各专业本科生的教材或参考用书，也可供从事科学与工程计算的科研工作者参考。

前言
绪论
0.1 数值分析的特点
0.2 数值计算的误差
0.2.1 误差与有效数字
0.2.2 数值运算的误差估计
0.3 避免误差危害的原则
0.3.1 要避免两相近数相减
0.3.2 防止大数“吃掉”小数
0.3.3 减少计算次数
0.3.4 避免使用不稳定的数值方法
第1章 非线性方程和方程组的数值解法
1.1 二分法
1.2 迭代法及其收敛性质
1.2.1 收敛阶
1.2.2 计算效率
1.3 单点迭代法——不动点迭代
1.3.1 不动点迭代的几何原理
1.3.2 不动点迭代的收敛性
1.3.3 不动点迭代的收敛阶
1.4 单点迭代法——Newton迭代法
1.4.1 基于反函数Taylor展开的迭代法构造
1.4.2 Newton迭代法
1.4.3 简化Newton迭代法与Newton下山法
1.5 多点迭代法——割线法
1.5.1 割线法
1.5.2 虚位法
1.6 重根上的迭代法
1.7 迭代加速收敛的方法
1.8 拟Newton法
1.8.1 拟Newton法
1.8.2 秩1的拟Newton法
习题
第2章 线性代数方程组数值解法
2.1 Gauss消元法
2.1.1 Gauss消元法
2.1.2 列选主元的Gauss消元法
2.1.3 全主元Gauss消元法
2.1.4 Gauss-Jordan消元法
2.2 三角分解法
2.2.1 Doolittle分解方法
2.2.2 Crout分解方法
2.2.3 Cholesky分解方法
2.2.4 解三对角方程组的追赶法
2.3 向量范数与矩阵范数
2.3.1 向量范数
2.3.2 矩阵范数
2.3.3 有关定理
2.4 矩阵的条件数与病态线性方程组
2.4.1 误差分析与矩阵的条件数
2.4.2 病态线性方程组
2.5 线性方程组的迭代解法
2.5.1 迭代法的一般形式
2.5.2 迭代法的收敛条件
2.5.3 Jacobi迭代法
2.5.4 Gauss-Seidel迭代法
2.5.5 超松弛SOR迭代法
2.5.6 迭代法收敛的其他判别方法
2.6 共轭梯度法
2.6.1 与方程组等价的变分问题
2.6.2 最速下降法
2.6.3 共轭梯度法
习题
第3章 插值法与数值逼近
3.1 多项式插值
3.1.1 插值问题的提出
3.1.2 多项式插值
3.1.3 Lagrange插值公式
3.1.4 Newton插值公式
3.1.5 反插值
3.1.6 插值公式的运用及其收敛性与数值计算稳定性
3.1.7 Hermite插值与分段插值
3.2 样条插值
3.2.1 引言
3.2.2 基本概念
3.2.3 三弯矩插值法
3.2.4 三转角插值法
3.3 有理逼近
3.4 很好平方逼近
3.4.1 正交多项式及其性质
3.4.2 函数的很好平方逼近
3.4.3 曲线拟合的最小二乘逼近
3.4.4 多项式最小二乘的光滑解
3.5 周期函数逼近与快速Fourier变换
3.5.1 周期函数的很好平方逼近
3.5.2 快速Fourier变换
习题
第4章 数值积分
4.1 数值积分的一般问题
4.1.1 数值积分思想概述
4.1.2 代数精度的概念
4.2 Newton-Cotes求积公式
4.2.1 Newton-Cotes求积公式的提出
4.2.2 偶数阶求积公式的代数精度
4.2.3 复化求积法
4.3 Romberg算法
4.3.1 梯形公式的递推化
4.3.2 Romberg公式
4.4 Gauss求积公式
4.4.1 Gauss点
4.4.2 Gauss-Legendre公式
4.4.3 Gauss公式的余项
4.4.4 Gauss求积公式的稳定性
4.5 带权函数的Gauss求积公式
4.5.1 数值求积公式和代数精度
4.5.2 Gauss求积公式的求积系数和余项的选取
4.5.3 无穷区间上的求积公式
4.5.4 Gauss-Chebyshev求积公式
4.6 复化Gauss求积公式
4.7 振荡函数的求积公式
4.8 自适应积分方法
4.9 多重积分求积公式
4.9.1 蒙特卡罗方法
4.9.2 余项的误差分析
习题
第5章 矩阵特征值计算
5.1 特征值基本性质和估计
5.1.1 特征值问题及其性质
5.1.2 特征值估计
5.2 幂法和反幂法
5.2.1 幂法
5.2.2 加速与收缩方法
5.2.3 反幂法
5.3 Jacobi方法
5.3.1 旋转变换
5.3.2 Jacobi方法
5.4 Householder方法
5.4.1 Householder变换
5.4.2 对称三对角矩阵的特征值计算
5.4.3 特征向量的计算
5.5 LR和QR算法
习题
第6章 常微分方程数值解法
6.1 引言
6.2 Euler方法
6.2.1 Taylor展开方法
6.2.2 化导数为差商的方法
6.2.3 数值积分方法
6.3 Runge-Kutta法
6.3.1 RK法的一般形式
6.3.2 二级RK法
6.3.3 四级RK法
6.3.4 变步长的RK方法
6.4 单步法的收敛性与相容性
6.5 线性多步法
6.5.1 线性多步法的一般形式
6.5.2 线性多步法的逼近准则
6.5.3 线性多步法阶与系数的关系
6.5.4 线性多步法的构造方法
6.6 预测-校正方法
6.6.1 基本思想
6.6.2 基本方法