信息安全数学基础（第二版）

对称密码算法高级加密标准AES和公钥密码算法RSA、DSA以及ECDSA等在信息安全领域被广泛使用，我国也建立了SM2、SM3和SM4等一系列密码标准. 本书以帮助读者学习和理解这些密码算法为目标，以直接明了、 浅显易懂的方式， 介绍了掌握这些算法所需具备的初等数论中同余、同余方程和原根，近世代数中群、环、域的基础知识，以及椭圆曲线的基础知识. 本书内容简明实用、重点突出，可作为高等学校信息安全本科生的教材，也可作为密码算法所基于的数学基础理论知识自学者的参考书.

第1章 整数的可除性 1 1.1 整除 1 1.2 优选公因数 4 1.2.1 带余除法 4 1.2.2 优选公因数 5 1.2.3 欧几里德算法 7 1.3 最小公倍数 16 1.4 算术基本定理 18 习题1 20 第2章 同余 22 2.1 同余的基本性质 22 2.2 接近剩余系 27 2.3 简化剩余系 32 2.4 欧拉函数 37 2.5 欧拉定理 40 2.6 费马小定理及应用 41 2.6.1 费马小定理 41 2.6.2 MillerRabin素性检测算法 43 2.7 模幂运算 45 2.7.1 模重复平方计算法 45 2.7.2 平方乘计算法 48 2.7.3 综合例题 49 习题2 50 第3章 一次同余方程 52 3.1 一次同余方程 52 3.1.1 同余方程 52 3.1.2 解一次同余方程 52 3.2 一次同余方程组 60 3.2.1 中国剩余定理 60 3.2.2 同余方程的解数 65 3.2.3 扩展阅读 66 3.3 一次同余方程在密码学中的应用 68 3.3.1 密码学的基本概念 68 3.3.2 仿射密码算法 69 3.3.3 RSA公钥密码算法 71 习题3 75 第4章 二次同余 77 4.1 二次同余方程 77 4.2 勒让得符号 80 4.3 扩展阅读 86 习题4 88 第5章 原根和离散对数 90 5.1 原根和阶 90 5.1.1 原根和阶的定义 90 5.1.2 原根和阶的性质 92 5.1.3 素数的原根 99 5.2 离散对数 101 5.3 离散对数在密码学中的应用 103 5.3.1 ElGamal密码算法 103 5.3.2 数字签名标准 104 5.3.3 单向函数 106 习题5 106 第6章 近世代数基础 108 6.1 群 108 6.1.1 群的基础知识 108 6.1.2 循环群 111 6.1.3 同态与同构 114 6.2 环 114 6.2.1 环 114 6.2.2 一元多项式环 116 6.3 有限域 117 6.3.1 域的定义 117 6.3.2 域上的一元多项式 118 6.3.3 域上一元多项式的运算规则 119 6.3.4 一元多项式的整除 119 6.3.5 域上一元多项式的带余除法 120 6.3.6 多项式的公因式 121 6.3.7 不可约多项式 123 6.3.8 多项式同余 125 6.3.9 一种构造有限域的方法 125 6.4 近世代数在高级加密标准(AES)中的应用 129 6.5 扩展阅读 131 习题6 132 第7章 椭圆曲线基础 134 7.1 椭圆曲线概述 134 7.2 域Fp上的椭圆曲线 134 7.3 域F2m上的椭圆曲线 142 7.4 椭圆曲线在密码学中的应用 147 习题7 148 参考文献 149