非线性常微分方程基础

本书是为理工科学生编写的常微分方程定性理论的入门教材，以简短篇幅介绍非线性常微分方程的近代方法，并兼顾某些应用。全书共七章，内容包括：预备知识、线性系统、非线性微分方程解的存在定理与解的性质、定性理论初步、稳定性理论的概念与方法、解析方法和应用：椭圆函数与非线性波方程的准确行波解。作为研究生入门的基础课，本书为读者提供了一些数学工具，希望通过学习本书，使读者早日进入本专业的研究工作。本书可作为高等师范院校和综合性大学数学类专业高年级本科生和一年级研究生常微分方程定性理论专业课程的教材，也可作为微分方程理论爱好者的科研和教学参考书。

前言
第1章预备知识1
1.1线性空间1
1.1.1线性空间1
1.1.2线性空间的维数、基与坐标1
1.1.3线性子空间3
1.2线性算子5
1.2.1映射的概念5
1.2.2线性算子的概念5
1.2.3线性算子的零空间(核)与值域7
1.2.4线性空间的不变子空间8
1.3线性算子的谱理论、矩阵的Jordan法式9
1.3.1本征值与本征向量9
1.3.2特征多项式无重根时矩阵A的简化10
1.3.3广义本征向量与广义零空间10
1.3.4算子在广义零空间中的简化13
1.3.5Jordan定理17
1.4矩阵函数22
1.4.1算子多项式22
1.4.2最小多项式24
1.4.3矩阵的整函数25
1.4.4一般矩阵函数的定义及简化29
1.4.5eB=A的解33
1.5线性赋范空间.35
1.5.1定义及例子35
1.5.2空间C[a，b]的列紧性判断(Ascoli-Arzela定理)36
1.5.3压缩映射原理37
习题139
第2章线性系统40
2.1一阶常微分方程组的一般理论40
2.1.1记号与定义40
2.1.2解的存在专享性定理41
2.1.3齐次微分方程组的通解结构理论42
2.1.4Liouville公式46
2.1.5非齐次方程组，常数变易公式48
2.2高阶线性方程49
2.3常系数线性系统52
2.3.1一般常系数齐次方程组52
2.3.2非齐次方程组58
2.3.3高阶常系数齐次方程59
2.3.4高阶常系数非齐次方程的算符解法60
2.4具有周期系数的线性系统63
2.4.1引言63
2.4.2Floquet理论64
2.4.3非齐次周期系统70
习题270
第3章非线性微分方程解的存在定理与解的性质73
3.1解的存在性和连续性73
3.1.1Euler折线与ε-逼近解73
3.1.2Peano存在定理75
3.2解的专享性与关于初值及右端函数的连续性77
3.2.1积分不等式77
3.2.2解的专享性80
3.2.3解关于初值与右端函数的连续性80
3.3解关于参数的连续性与可微性82
3.4具有解析右端的Cauchy定理86
习题386
第4章定性理论初步88
4.1自治系统的基本性质88
4.1.1自治系统88
4.1.2自治系统的动力学性质89
4.1.3奇点(平衡位置)与闭轨线90
4.2二阶线性系统91
4.2.1二维自治系统的变分方程组91
4.2.2线性系统的奇点判定93
4.3非线性系统的奇点100
4.3.1小扰动下的一次奇点、线性化条件100
4.3.2高次奇点的简单讨论101
4.4相平面上轨线性状的一般讨论106
4.4.1轨线的极限集合、截线及其性质106
4.4.2平面有界闭域内的半轨线及其极限集合的可能类型107
4.4.3轨道稳定性与奇轨线109
4.5极限环110
4.5.1基本概念和例子110
4.5.2判别周期解与极限环存在的几个准则111
4.5.3周期解和极限环不存在的几个准则115
4.6非线性振动型方程的周期解与极限环117
4.6.1定义和分类117
4.6.2VanderPol型方程的一个周期解存在定理118
4.6.3Liénard方程的中心存在定理119
4.7平面自治系统的分枝121
4.7.1分枝的概念121
4.7.2Hopf分枝定理122
4.7.3Poincaré分枝与同宿、异宿分枝125
习题4131
第5章稳定性理论的概念与方法133
5.1稳定性定义与V函数133
5.1.1问题的提出133
5.1.2稳定性的定义133
5.1.3稳定性的研究方法阐述137
5.1.4V函数与K函数138
5.1.5V函数性质的判别法139
5.1.6定号函数的几何解释140
5.2Lyapunov第二方法的基本定理140
5.2.1稳定性定理140
5.2.2不稳定性定理141
5.2.3渐近稳定定理143
5.3自治系统的稳定性144
5.3.1常系数线性系统零解的稳定性145
5.3.2常系数线性系统的V函数的存在性145
5.3.3由一次近似决定的稳定性146
5.3.4稳定多项式的Routh-Harwitz定理147
5.4周期系统的稳定性149
5.4.1周期线性系统149
5.4.2一般周期系统150
5.5全局稳定性的概念及主要判定定理151
习题5158
第6章解析方法160
6.1基本概念160
6.1.1同阶函数与高阶函数160
6.1.2渐近序列与渐近级数161
6.1.3渐近展开与一致有效渐近展开162
6.2正则摄动法163
6.3非一致有效渐近解165
6.4应变参数法168
6.5匹配渐近法171
6.6多重尺度法177
6.6.1二变量法178
6.6.2导数展开法181
6.7平均化法184
习题6189
第7章应用:椭圆函数与非线性波方程的准确行波解191
7.1Jacobi椭圆函数的微分方程定义与性质191
7.2浅水波方程模型与对应的行波解系统195
7.2.1小振幅长波格式:δ1，=O(δ2)197
7.2.2中等振幅格式:δ1，=O(δ)198
7.2.3较大振幅格式:δ1，=O(√δ)199
7.2.4不假设振幅小的模型:=O(1)199
7.3广义Camassa-Holm方程的准确尖孤子、伪尖孤子和周期尖波解201
7.3.1由图7.3.1(a)的相轨道确定的广义Camassa-Holm方程 的孤立波解，伪尖孤子，周期波解与周期尖波解203
7.3.2由图7.3.1(b)的相轨道确定的广义Camassa-Holm方程的周期尖波解与尖孤子解205
7.3.3由图7.3.1(c)的相轨道确定的广义Camassa-Holm方程的周期尖波解与有界破缺波解206
7.4广义HarryDym-型方程的准确行波解及其在参数平面的分枝208
7.4.1系统(7.4.3)的相图的分枝209
7.4.2当c<0，μ<0时，(7.4.3)的轨道确定的伪尖孤子，周期尖波解与有界的破缺波解212
7.4.3当c<0，μ<0时方程(7.4.1)的准确孤立波解220
习题7220
参考文献222