惰者集 数感与数学

菲尔兹奖、沃尔夫奖、日本文化勋章得主，日本数学大家 小平邦彦 数学随笔文集 解析“数感”与数学思维 反思数学教育中的功过得失 重塑独立思考能力与数学兴趣

小平邦彦（Kunihiko Kodaira） 1915—1997，日本数学家，生前被选为日本学士院院士、美国科学院和德国哥廷根科学院外籍院士。先后在美国普林斯顿高等研究院、哈佛大学、约翰斯?霍普金斯大学、斯坦福大学、日本东京大学等任教授，在调和积分理论、代数几何学和复解析几何学等诸多领域做出了贡献。1954年获菲尔兹奖，1957年被日本政府授予文化勋章，1984年获沃尔夫奖。著有《微积分入门》《复分析》《复流形理论》《几何世界的邀请》等。

第一章001
数学笔记002
数学印象004
一位数学家的妄想014
数学的奇妙022
发明心理学与平面几何024
学术交流——围绕数学世界026
科学、与人类进步041
第二章057
长此以往，日本将陷入危险之境058
忘却原则的初等、中等教育——为什么、为了谁如此着急061
对“新数学”运动的批判083
什么扭曲了数学教育088
令人费解的日本数学教育096
第三章103
忆往昔104
回顾与……113
愈发难懂的数学126
回忆普林斯顿128
约翰斯霍普金斯大学134
赫尔曼外尔老师136
关于沃尔夫奖144
数学是什么149
第四章179
来自普林斯顿的信件180
写给21世纪的主人234

     数学笔记 在我看来，数学书（包括论文）是最晦涩难憧的读物。将一本几百页的数学书从头到尾读一遍更是难上加难。翻开数学书，定义、公理扑面而来，定理、证明接踵而至。数学这种东西，一旦理解则非常简单明了，所以我读数学书的时候，一般都只看定理，努力去理解定理，然后自己独立思考数学证明。不过，大多数情况下都是百思不得其解，最终只好参考书中的证明。然而，有时候反复阅读证明过程也难解其意，这种情况下，我便会尝试在笔记本中抄写这些数学证明。在抄写过程中，我会发现证明中有些地方不尽如人意，于是转而寻求是否存在更好的证明方法。如果能够顺利找到还好，若一时难以觅得，则多会陷入苦思，至无路可走、油尽灯枯才会作罢。按照这种方法，读至一章末尾，已是月余，开篇的内容则早被忘到九霄云外。没办法，只好折返回去从头来过。之后，我又注意到书中整个章节的排列顺序不甚合理。比如，我会考虑将定理七的证明置于定理三的证明之前的话，是否更加合适。于是我又开始撰写调整章节顺序的笔记。完成这项工作后，我才有真正掌握第一章的感觉，终于松了一口气，同时又因太耗费精力而心生烦扰。从时间上来说，想要真正理解一本几百页的数学书，几乎是一件不可能完成的任务。真希望有人告诉我，如何才能快速阅读数学书。 也许有人会不解，何必要如此左思右想，直接读到最后一页不就好了？话虽如此，不过这样会存在一个问题。在数学书中，如果是与我的专业关系不大的话，反而可以快速读完（虽然我很少读与我专业无关的数学书）。但是，读完以后到底能否理解，我对此持怀疑的态度。理解数学书（或者论文）是一种怎样的状态呢？只要一步步验证以确认证明过程无误即是理解的状态吗？在阅读与自己专业无关的数学书时，我发现即使确认了证明的求证过程，之前不理解的定理仍然不得其意。虽然证明过程正确，不过总感觉整体印象模糊不清。与此相反，如果是自己专业领域的定理，即使不记得定理的证明过程，已经理解的内容也都格外清晰，正如我们能清晰地理解2＋2＝4—样。我们之所以能理解2＋2＝4，是因为自己是从感觉上把握了这一数学事实，而不是通过论证。定理的理解同样如此，应该从感觉上把握定理所要表达的数学事实。尝试摸索定理的证明过程，是一种从感觉上把握定理的方法，而并非为了检验证明过程的正确性（有名定理的正确性显然也不需要确认）。想要更好地理解定理，仅仅读一遍定理的证明过程是远远不够的。反复阅读研究、做笔记，并且将定理运用于各种问题中才是有效的方法。做笔记的目的不是为了背诵证明过程，而是花时间去详细分析定理所要表达的数学事实的结构。像这样理解定理之后，日后即使忘记定理的证明过程也接近没有关系（不过在大学毕业之前，还是需要记住证明过程来应对考试）。当偶尔需要确认证明过程去重新复习时，会发现定理内容如同2＋2＝4一样清晰，但定理的证明过程看起来总觉得有牵强附会之感。