数值分析

“数值分析”也叫“计算方法”，主要研究使用计算机解决数学问题的数值计算方法和理论。本书主要内容包括非线性方程（组）求根、解线性方程组的直接法和迭代法、曲线拟合和函数插值、数值微积分、常微分方程的数值解法、矩阵的特征值问题等。考虑到工科院校该课程教学的目的是满足工程和科研应用需要，因此本书更注重介绍工程应用的方法，弱化数学理论的推导证明，并且各章大多配有应用案例、上机实验和习题。本书适合作为普通工科院校少学时本科生和研究生教材或教辅使用。

第1章绪论1
1.1引言1
1.2误差2
1.2.1误差来源与分类2
1.2.2绝对误差、相对误差与有效数字3
1.3数值算法设计原则6
习题19
第2章非线性方程与方程组的数值解法11
2.1引言11
2.2二分法12
2.3简单迭代法14
2.3.1简单迭代法的构造原理14
2.3.2迭代法的收敛性16
2.3.3局部收敛性与收敛阶18
2.3.4迭代法的加速技巧20
2.4牛顿法及其变形方法22
2.4.1牛顿法22
2.4.2牛顿法的变形25
2.5多项式方程求根法30
2.6非线性方程组的数值解法31
2.7应用案例：球体进水深度问题33
习题233
上机实验35
第3章解线性方程组的直接法36
3.1引言36
3.2高斯消去法37
3.2.1高斯消去法的基本思想37
3.2.2n元线性方程组的高斯消去法38
3.3列主元高斯消去法42
3.4直接三角分解法及列主元三角分解法43
3.4.1直接三角分解法43
3.4.2列主元三角分解法47
3.5特殊矩阵的三角分解法49
3.5.1对称矩阵的三角分解法49
3.5.2对称正定矩阵的三角分解法50
3.5.3三对角方程组的追赶法52
3.6应用案例：食物营养配餐问题54
习题356
上机实验57
第4章解线性方程组的迭代法58
4.1预备知识58
4.1.1向量的数量积及其性质58
4.1.2向量范数和向量序列的极限59
4.1.3矩阵范数和矩阵序列的极限60
4.1.4方程组的性态与矩阵的条件数62
4.2简单迭代法64
4.2.1简单迭代法的基本构造64
4.2.2迭代法的收敛性64
4.2.3迭代法收敛的误差估计66
4.3雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法66
4.3.1雅可比迭代法67
4.3.2高斯-赛德尔迭代法69
4.3.3雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法的收敛性72
4.4超松弛迭代法74
4.5共轭梯度法76
4.5.1等价的极值问题77
4.5.2最速下降法78
4.5.3共轭梯度法79
4.6应用案例：迭代法在求解偏微分方程中的应用82
习题484
上机实验86
第5章曲线拟合与函数插值88
5.1曲线拟合的最小二乘法88
5.1.1最小二乘问题88
5.1.2最小二乘拟合多项式90
5.2插值问题的提出94
5.3拉格朗日插值96
5.3.1线性插值与二次插值96
5.3.2拉格朗日插值多项式97
5.3.3插值余项99
5.4差商与牛顿插值102
5.4.1差商的定义与性质102
5.4.2牛顿插值公式103
5.5差分与等距节点插值105
5.5.1差分的定义与性质105
5.5.2等距节点插值公式106
5.6埃尔米特插值108
5.7分段低次多项式插值111
5.7.1高次多项式插值的龙格现象111
5.7.2分段线性插值112
5.7.3分段三次埃尔米特插值112
5.8三次样条插值113
5.8.1三次样条函数113
5.8.2三次样条插值函数的计算114
5.9应用案例：应用三次样条函数实现曲线拟合117
习题5119
上机实验121
第6章数值微积分123
6.1数值积分的基本概念123
6.1.1求积公式与代数精度123
6.1.2插值型求积公式124
6.2牛顿-柯特斯公式125
6.2.1牛顿-柯特斯系数及常用求积公式125
6.2.2误差估计128
6.2.3收敛性与稳定性129
6.2.4复化求积公式130
6.3龙贝格算法132
6.3.1变步长梯形求积算法132
6.3.2理查森外推算法134
6.3.3龙贝格算法135
6.4高斯型求积公式137
6.4.1求积公式的优选代数精度137
6.4.2正交多项式138
6.4.3高斯型求积公式的一般理论140
6.4.4高斯-勒让德求积公式141
6.5数值微分143
6.5.1中点方法143
6.5.2插值型求导公式145
6.6应用案例：卫星轨道长度计算问题146
习题6148
上机实验150
第7章常微分方程的数值解法151
7.1引言151
7.2简单数值计算方法152
7.2.1欧拉法152
7.2.2隐式欧拉法153
7.2.3梯形法154
7.2.4改进欧拉法155
7.3龙格-库塔方法156
7.3.1泰勒展开公式156
7.3.2龙格-库塔方法的基本思想158
7.3.3二阶龙格-库塔公式159
7.3.4三阶龙格-库塔公式160
7.3.5四阶龙格-库塔公式161
7.4线性多步法162
7.4.1线性多步法的一般公式162
7.4.2阿当姆斯显式与隐式公式163
7.4.3阿当姆斯预测-校正公式166
7.5一阶方程组与高阶方程167
7.5.1一阶方程组167
7.5.2化高阶方程为一阶方程组168
7.6应用案例：闭电路中电流的计算问题170
习题7172
上机实验173
第8章矩阵的特征值问题174
8.1幂法和反幂法174
8.1.1幂法174
8.1.2幂法的加速技巧178
8.1.3反幂法180
8.2对称矩阵的雅可比方法182
8.2.1平面旋转矩阵182
8.2.2雅可比方法184
8.3QR方法186
8.3.1正交变换186
8.3.2矩阵的QR分解188
8.3.3QR算法191
8.4求实对称三对角阵特征值的二分法192
8.4.1特征多项式序列及其性质192
8.4.2求特征值的二分法193
8.5应用案例：互联网页面等级计算问题195
习题8197
上机实验198
参考文献199