广义积分论

积分论一直是分析学的核心领域，近年来产生的非可加积分、集值积分与模糊值积分理论发展迅速，且在信息论、控制论、数量经济、决策过程、人工智能和大数据等领域有着广泛的应用。本书系统介绍非可加积分、集值积分与模糊值积分领域的近期新理论成果，因为其涵盖了经典的Lebesgue积分，所以定名为“广义积分论”。内容有：单值积分，包括抽象Lebesgue积分、Bochner积分、模糊积分、（N）模糊积分、半模模糊积分、广义模糊积分、Choquet积分、拟积分、广义Choquet积分、格值广义模糊积分；集值积分，包括Aumann积分、Debreu积分、集值模糊积分、集值Choquet积分；模糊值积分，包括模糊值Aumann积分、模糊值模糊积分、模糊值Choquet积分；关于模糊数测度的积分；关于模糊数模糊测度的模糊积分、广义模糊积分、广义Choquet积分；广义模糊数理论。本书可作为大学数学、计算机、管理学等专业高年级本科生和研究生教材，亦可供相关领域学者和工程技术人员学习参考。

《模糊数学与系统及其应用丛书》序
前言
第1章积分论大意1
1.1测度与可测函数1
1.1.1测度1
1.1.2可测函数3
1.2积分4
1.2.1定义、性质与收敛定理4
1.2.2Fubini定理6
1.2.3Radon-Nikodym定理6
参考文献6
第2章模糊集、模糊测度与可测函数7
2.1模糊集基础7
2.2模糊测度9
2.2.1定义与例子9
2.2.2模糊测度的结构特征11
2.2.3模糊测度序列14
2.3可测函数列17
2.4进展与注19
参考文献20
第3章模糊积分21
3.1Sugeno模糊积分21
3.1.1定义21
3.1.2性质22
3.1.3收敛定理24
3.1.4转化定理，由积分定义的集函数26
3.1.5上、下Sugeno积分26
3.2(N)模糊积分与半模模糊积分27
3.2.1(N)模糊积分27
3.2.2半模模糊积分29
3.3广义半模模糊积分31
3.3.1定义与性质32
3.3.2收敛定理35
3.3.3模糊测度序列在广义半模模糊积分意义下的弱收敛41
3.3.4广义半模模糊积分的水平收敛定理44
3.3.5广义半模模糊积分的表示46
3.3.6由广义半模模糊积分定义的模糊测度51
3.4进展与注52
参考文献54
第4章Choquet积分57
4.1非负函数的Choquet积分57
4.1.1定义和性质57
4.1.2模糊测度的表示，共单调可加性59
4.1.3广义收敛定理及Choquet积分表示64
4.1.4Choquet积分不等式67
4.1.5上、下Choquet积分68
4.2非对称Choquet积分70
4.2.1定义与性质70
4.2.2收敛定理72
4.2.3由Choquet积分定义的集函数73
4.3Fubini定理75
4.3.1基于代数的Fubini定理75
4.3.2基于σ-代数的Fubini定理76
4.3.3一般情形的乘积容度与Fubini定理78
4.4Choquet积分——其他80
4.4.1对称Choquet积分80
4.4.2关于拟Lebesgue测度的Choquet积分82
4.4.3新Choquet-like积分84
4.4.4Choquet-Stieltjes积分86
4.4.5非单调模糊测度空间及收敛86
4.5进展与注89
参考文献89
第5章拟积分与广义Choquet积分93
5.1Sugeno与Murofushi的拟可加测度与积分93
5.1.1拟可加测度与积分的基本概念93
5.1.2拟可加积分的收敛定理96
5.1.3g-积分101
5.1.4Choquet-like积分106
5.2σ-可加测度与拟积分107
5.2.1半环的基本概念107
5.2.2拟积分的定义110
5.2.3Fubini定理112
5.2.4拟积分转化定理116
5.2.5拟积分的广义Minkowski不等式117
5.2.6拟积分的Jensen不等式121
5.3非负可测函数的拟积分的再定义128
5.3.1定义128
5.3.2性质130
5.3.3收敛定理131
5.4广义Choquet积分134
5.4.1半环值模糊测度134
5.4.2广义Choquet积分——一般情形135
5.4.3广义Choquet积分——情形I—情形III136
5.4.4广义Choquet积分的收敛定理143
5.4.5广义Choquet积分不等式146
5.5进展与注148
参考文献149
第6章格值广义模糊积分152
6.1格L上的广义三角模与TS-L广义模糊积分152
6.1.1格L上的广义三角模152
6.1.2TS-L广义模糊积分153
6.2∨S-L广义模糊积分159
6.2.1常值函数TS-L广义模糊积分的讨论159
6.2.2∨S-L广义模糊积分161
6.3Rm+-值广义模糊积分165
6.3.1基本概念与定义165
6.3.2m维广义模糊积分定理及收敛定理166
6.4进展与注170
参考文献171
第7章集值函数与模糊集值函数的积分172
7.1预备知识172
7.1.1Bochner积分172
7.1.2集值函数174
7.1.3可积选择空间177
7.2集值函数的Aumann积分180
7.2.1定义180
7.2.2性质181
7.3P0(Rn)值函数的Aumann积分184
7.3.1基本性质，收敛定理184
7.3.2Fubini定理185
7.3.3Debreu积分186
7.4集值测度187
7.4.1集值测度的定义与性质187
7.4.2集值测度的选择188
7.4.3Radon-Nikodym定理189
7.5模糊集值函数的积分191
7.5.1n维模糊数191
7.5.2一维模糊数193
7.5.3模糊集值函数194
7.5.4模糊集值函数的积分195
7.5.5模糊值积分的Fubini定理199
7.5.6模糊集值测度200
7.6Pk(R)-值与Pk(R)-值积分的Jensen不等式201
7.6.1凸函数与经典Jensen不等式201
7.6.2集值函数与模糊集值函数积分的几个性质201
7.6.3集值Jensen不等式203
7.6.4模糊集值Jensen不等式207
7.7模糊数测度与积分214
7.7.1模糊数测度214
7.7.2模糊值函数关于模糊数测度的积分215
7.7.3Fubini定理219
7.7.4Radon-Nikodym定理220
7.8进展与注221
参考文献222
第8章集值函数与模糊集值函数的模糊积分226
8.1预备知识226
8.2集值函数的模糊积分227
8.2.1定义与性质227
8.2.2收敛定理231
8.3模糊集值函数的模糊积分233
8.3.1定义与性质233
8.3.2收敛定理235
8.4集值模糊测度与拟可加集值测度237
8.4.1定义与例子237
8.4.2集值模糊测度的一种构造方法237
8.4.3拟可加集值测度与Radon-Nikodym定理238
8.5集值函数的集值Choquet积分239
8.5.1定义与性质239
8.5.2收敛定理242
8.6模糊集值函数的Choquet积分243
8.7集值函数的实值Choquet积分244
8.7.1定义与性质244
8.7.2收敛定理246
8.8Choquet积分的Jensen不等式247
8.8.1实值Jensen不等式247
8.8.2集值函数实值Choquet积分的Jensen不等式251
8.8.3集值Choquet积分的Jensen不等式253
8.8.4模糊集值Choquet积分的Jensen不等式255
8.9进展与注256
参考文献257
第9章模糊数模糊测度与模糊积分259
9.1预备知识259
9.2区间数模糊测度与模糊数模糊测度262
9.3模糊值函数关于模糊数模糊测度的模糊积分264
9.3.1区间值函数关于区间数模糊测度的模糊积分264
9.3.2模糊值函数关于模糊数模糊测度的模糊积分267
9.4模糊值函数关于模糊数模糊测度的广义模糊积分272
9.4.1区间值函数关于区间数模糊测度的广义模糊积分272
9.4.2模糊值函数关于模糊数模糊测度的广义模糊积分273
9.5模糊值函数关于模糊数模糊测度的广义Choquet积分277
9.5.1区间值函数关于区间值模糊测度的广义Choquet积分——一般情形277
9.5.2区间值函数关于区间值模糊测度的广义Choquet积分——半环情形I—情形III278
9.5.3模糊值函数关于模糊数模糊测度的广义Choquet积分——半环情形I—情形III280
9.6进展与注282
参考文献282
第10章广义模糊数284
10.1定义与基本定理284
10.1.1CH广义模糊数284
10.1.2广义模糊数的再定义285
10.2广义模糊数空间:序、运算、距离290
10.2.1h-广义模糊数290
10.2.2广义模糊数292
10.3广义模糊数序列299
10.4进展与注303
参考文献304
《模糊数学与系统及其应用丛书》已出版书目309