偏微分方程数值解法 第3版

本书内容包括常微分方程两点边值问题的差分方法、椭圆型方程的差分方法、抛物型方程的差分方法、双曲型方程的差分方法、高维发展方程的交替方向法、分数阶微分方程的有限差分方法、Schrödinger方程的差分方法、Burgers方程的差分方法、Korteweg-deVries方程的差分方法。力求做到：(a)精选内容；(b)难点分散；(c)循序渐进。先举例示范，再要求学生模仿，最后到熟练掌握；先介绍基础篇，再引入提高篇。本书可作为信息与计算科学及数学与应用数学专业高年级本科生的基础课教材，亦可作为高等学校数学及其他专业研究生的教学参考书。

第三版前言
第二版前言
第一版前言
第1章 常微分方程两点边值问题的差分方法 1
1.1 Dirichlet边值问题 1
1.1.1 基本微分不等式 2
1.1.2 解的先验估计式 5
1.2 差分格式 7
1.2.1 差分格式的建立 9
1.2.2 差分格式解的存在性 11
1.2.3 差分格式的求解与数值算例 12
1.2.4 差分格式解的先验估计式 16
1.2.5 差分格式解的收敛性和稳定性 25
1.2.6 Richardson外推法 26
1.2.7 紧致差分格式 29
1.3 导数边界值问题 32
1.3.1 差分格式的建立 32
1.3.2 差分格式的求解与数值算例 35
1.4 小结与拓展 39
习题1 40
第2章 椭圆型方程的差分方法 44
2.1 Dirichlet边值问题 45
2.2 五点差分格式 48
2.2.1 差分格式的建立 48
2.2.2 差分格式解的存在性 51
2.2.3 差分格式的求解与数值算例 51
2.2.4 差分格式解的先验估计式 54
2.2.5 差分格式解的收敛性和稳定性 57
2.2.6 Richardson外推法 58
2.3 紧致差分格式 61
2.3.1 差分格式的建立 62
2.3.2 差分格式解的存在性 64
2.3.3 差分格式的求解与数值算例 66
2.3.4 差分格式解的先验估计式 69
2.3.5 差分格式解的收敛性和稳定性 74
2.4 导数边界值问题 75
2.4.1 差分格式的建立 75
2.4.2 差分格式的求解与数值算例 78
2.5 双调和方程边值问题 80
2.6 小结与拓展 82
习题2 84
第3章 抛物型方程的差分方法 86
3.1 Dirichlet初边值问题 86
3.2 向前Euler格式 89
3.2.1 差分格式的建立 90
3.2.2 差分格式解的存在性 92
3.2.3 差分格式的求解与数值算例 92
3.2.4 差分格式解的先验估计式 95
3.2.5 差分格式解的收敛性和稳定性 99
3.3 向后Euler格式 103
3.3.1 差分格式的建立 103
3.3.2 差分格式解的存在性 105
3.3.3 差分格式的求解与数值算例 105
3.3.4 差分格式解的先验估计式 109
3.3.5 差分格式解的收敛性和稳定性 112
3.4 Richardson格式 113
3.4.1 差分格式的建立 113
3.4.2 差分格式的求解与数值算例 115
3.4.3 差分格式的不稳定性 116
3.5 Crank-Nicolson格式 119
3.5.1 差分格式的建立 119
3.5.2 差分格式解的存在性 121
3.5.3 差分格式的求解与数值算例 122
3.5.4 差分格式解的先验估计式 124
3.5.5 差分格式解的收敛性和稳定性 127
3.5.6 Richardson外推法 128
3.6 紧致差分格式 130
3.6.1 差分格式的建立 131
3.6.2 差分格式解的存在性 133
3.6.3 差分格式的求解与数值算例 134
3.6.4 差分格式解的先验估计式 136
3.6.5 差分格式解的收敛性和稳定性 138
3.7 非线性抛物方程 139
3.7.1 向前Euler格式 141
3.7.2 向后Euler格式 147
3.7.3 Crank-Nicolson格式 153
3.8 导数边界值问题 161
3.9 小结与拓展 164
习题3 165
第4章 双曲型方程的差分方法 174
4.1 Dirichlet初边值问题 174
4.2 显式差分格式 176
4.2.1 差分格式的建立 176
4.2.2 差分格式解的存在性 179
4.2.3 差分格式的求解与数值算例 180
4.2.4 差分格式解的先验估计式 183
4.2.5 差分格式解的收敛性和稳定性 187
4.3 隐式差分格式 191
4.3.1 差分格式的建立 191
4.3.2 差分格式解的存在性 194
4.3.3 差分格式的求解与数值算例 196
4.3.4 差分格式解的先验估计式 198
4.3.5 差分格式解的收敛性和稳定性 200
4.4 紧致差分格式 203
4.5 有限Fourier级数及其应用 206
4.5.1 有限Fourier级数 206
4.5.2 两点边值问题差分解的先验估计式 210
4.5.3 抛物型方程第一边值问题差分解的先验估计式 212
4.5.4 双曲型方程第一边值问题差分解的先验估计式 214
4.6 小结与拓展 218
习题4 219
第5章 高维发展方程的交替方向法 226
5.1 二维抛物型方程的交替方向隐格式 226
5.1.1 差分格式的建立 227
5.1.2 差分格式解的存在性 232
5.1.3 差分格式的求解与数值算例 233
5.1.4 差分格式解的先验估计式 238
5.1.5 差分格式解的收敛性和稳定性 242
5.2 二维抛物型方程的紧致交替方向隐格式 243
5.2.1 差分格式的建立 244
5.2.2 差分格式解的存在性 247
5.2.3 差分格式的求解与数值算例 249
5.2.4 差分格式解的先验估计式 252
5.2.5 差分格式解的收敛性和稳定性 255
5.3 二维双曲型方程的交替方向隐格式 257
5.3.1 差分格式的建立 257
5.3.2 差分格式解的存在性 262
5.3.3 差分格式的求解与数值算例 263
5.3.4 差分格式解的先验估计式 268
5.3.5 差分格式解的收敛性和稳定性 273
5.4 二维双曲型方程的紧致交替方向隐格式 275
5.5 小结与拓展 281
习题5 282
第6章 分数阶微分方程的有限差分方法 287
6.1 分数阶导数的定义和性质 287
6.1.1 分数阶积分 287
6.1.2 Grünwald-Letnikov分数阶导数 287
6.1.3 Riemann-Liouville分数阶导数 288
6.1.4 Caputo分数阶导数 288
6.1.5 Riesz分数阶导数 290
6.2 Caputo分数阶导数的插值逼近 290
6.2.1 α(0<α<1) 阶分数阶导数的逼近 290
6.2.2 γ(1<γ< 2) 阶分数阶导数的逼近 293
6.3 时间分数阶慢扩散方程的差分方法 296
6.3.1 差分格式的建立 296
6.3.2 差分格式的可解性 297
6.3.3 差分格式的稳定性 298
6.3.4 差分格式的收敛性 300
6.3.5 数值算例 300
6.4 时间分数阶波方程的差分方法 301
6.4.1 差分格式的建立 302
6.4.2 差分格式的可解性 303
6.4.3 差分格式的稳定性 304
6.4.4 差分格式的收敛性 306
6.4.5 数值算例 307
6.5 时间分数阶混合扩散和波方程的差分方法 308
6.5.1 差分格式的建立 309
6.5.2 差分格式的可解性 310
6.5.3 差分格式的稳定性 311
6.5.4 差分格式的收敛性 314
6.5.5 数值算例 315
6.6 小结与拓展 317
习题6 318
第7章 Schrödinger方程的差分方法 320
7.1 引言 320
7.2 二层非线性差分格式 322
7.2.1 差分格式的建立 323
7.2.2 差分格式解的守恒性和有界性 324
7.2.3 差分格式解的存在性和专享性 327
7.2.4 差分格式解的收敛性 329
7.2.5 数值算例 334
7.3 三层线性化差分格式 336
7.3.1 差分格式的建立 336
7.3.2 差分格式解的守恒性和有界性 337
7.3.3 差分格式解的存在性和专享性 339
7.3.4 差分格式解的收敛性 340
7.3.5 数值算例 348
7.4 小结与拓展 349
习题7 349
第8章 Burgers方程的差分方法 352
8.1 引言 352
8.2 二层非线性差分格式 354
8.2.1 记号及引理 354
8.2.2 差分格式的建立 355
8.2.3 差分格式解的守恒性和有界性 356
8.2.4 差分格式解的存在性和专享性 358
8.2.5 差分格式解的收敛性 361
8.2.6 数值算例 366
8.3 三层线性化差分格式 368
8.3.1 差分格式的建立 368
8.3.2 差分格式解的守恒性和有界性 369
8.3.3 差分格式解的存在性和专享性 370
8.3.4 差分格式解的收敛性 371
8.3.5 数值算例 375
8.4 小结与拓展 376
习题8 378
第9章 Korteweg-de Vries方程的差分方法 380
9.1 引言 380
9.2 空间一阶差分格式 381
9.2.1 差分格式的建立 381
9.2.2 差分格式解的存在性 383
9.2.3 差分格式解的守恒性和有界性 385
9.2.4 差分格式解的收敛性 386
9.2.5 数值算例 388
9.3 空间二阶差分格式 390
9.3.1 差分格式的建立 390
9.3.2 差分格式解的存在性 394
9.3.3 差分格式解的守恒性和有界性 396
9.3.4 差分格式解的收敛性 397
9.3.5 数值算例 401
9.3.6 引理9.2的证明 402
9.4 小结与拓展 406
习题9 406
参考文献 408
索引 411