应用拓扑学基础

《应用拓扑学基础》讲述点集拓扑和代数拓扑的核心内容，同时介绍在理论计算机科学的一个重要研究领域——Domain理论中有广泛应用的序结构和内蕴拓扑。
《应用拓扑学基础》共8章。第1章是集合论基础；第2章是拓扑空间与连续映射；第3章为构造新拓扑空间的方法；第4章是拓扑性质和相应的特殊类型拓扑空间；第5章介绍网和滤子的收敛，刻画诸如闭包、连续映射、紧致性等概念；第6章为序结构与内蕴拓扑；第7章为同伦与基本群；第8章是可剖分空间及其单纯同调群。《应用拓扑学基础》给出了许多具体实例帮助理解相关概念和定理，各章节均配备了适量的习题以便读者阅读和练习。正文带*号的内容是可不讲的内容，习题带*号的是难度较大的习题。

前言
第1章 集合论基础 1
1.1 集合及其基本运算 1
1.2 关系、映射与偏序 3
1.2.1 关系与映射 3
1.2.2 等价关系 6
1.2.3 预序、偏序及全序 7
1.3 集族及其运算 10
1.4 基数与序数 12
1.4.1 可数集 12
1.4.2 基数 13
1.4.3 序数 14
1.5 选择公理与Zorn引理 16
第2章 拓扑空间与连续映射 18
2.1 度量与度量空间 18
2.2 拓扑与拓扑空间 20
2.3 开集与邻域 22
2.4 闭集与闭包 24
2.5 内部与边界 26
2.6 基与子基 27
2.7 连续映射与同胚 30
2.8 序列及其收敛 33
第3章 拓扑空间经典构造方法 35
3.1 子空间 35
3.2 积空间 38
3.3 商拓扑与商空间 41
3.4 商映射 42
第4章 拓扑性质及特殊类型拓扑空间 45
4.1 可分性与可分空间 45
4.2 可数性与可数性空间 46
4.3 连通性与连通空间 49
4.4 道路连通性与道路连通空间 53
4.4.1 道路与曲线 53
4.4.2 道路连通空间与道路连通分支 54
4.5 分离性与Ti空间 56
4.6 紧致性与紧致空间 65
4.7 仿紧性与仿紧空间 73
4.8 度量空间的拓扑性质 76
第5章 收敛理论与拓扑概念刻画 82
5.1 网的收敛理论 82
5.1.1 网及其收敛 82
5.1.2 收敛类和拓扑 87
5.2 集合滤子及其收敛理论 89
5.3 紧致性的收敛式刻画和序列紧性 92
第6章 序结构与内蕴拓扑 103
6.1 拓扑空间的特殊化序与Sober空间 103
6.2 分配格、dcpo和完备格 105
6.3 偏序集的内蕴拓扑 108
6.3.1 Alexandrov拓扑、上拓扑和下拓扑 108
6.3.2 Scott拓扑、Lawson拓扑和测度拓扑 109
6.4 偏序集上内蕴拓扑的连通性 113
第7章 同伦与基本群 117
7.1 映射的同伦 118
7.2 基本群 121
7.2.1 道路类的逆和乘积 121
7.2.2 基本群与基点的关系 123
7.3 简单空间的基本群计算 125
7.3.1 S1的基本群 125
7.3.2 Sn(n≥2)的基本群 127
7.3.3 T2的基本群 128
7.4 拓扑空间的同伦等价 129
7.5 基本群的同伦不变性 132
7.6 Van-Kampen定理介绍 133
7.7 基本群的应用 135
第8章 可剖分空间及其单纯同调群 137
8.1 单纯复合形与三角剖分 137
8.1.1 单纯形 137
8.1.2 单纯复合形 139
8.1.3 多面体与可剖分空间 140
8.2 复形的链群与同调群 141
8.2.1 单形的定向与复形的链群 142
8.2.2 边缘同态 143
8.2.3 复形的同调群 144
8.3 同调群的性质及几何意义 145
8.3.1 同调群的性质 145
8.3.2 同调群的几何意义 146
8.3.3 Euler-Poincaré公式 147
8.4 同调群计算举例 148
8.5 单纯映射与单纯逼近 153
8.5.1 单纯映射 153
8.5.2 单纯逼近 155
8.6 重心重分与单纯逼近存在定理 158
8.7 连续映射诱导的同调群同态 162
8.7.1 同调群的重分不变性 162
8.7.2 连续映射f诱导同态f*q 164
8.7.3 多面体与可剖分空间的同调群 166
8.8 同调群的同伦不变性 167
8.9 映射度与同调群应用 168
参考文献 171
符号说明 172
名词索引 178