高等数学(第二版)(下册)

本书的特色是力求突出数学概念与理论的实质，避免过分形式化，使读者对高等数学内容感到朴实自然，便于学生自学。

本套教材是综合性大学、高等师范院校及其他理工科大学中的非数学类各专业（尤其是物理类专业）学生的高等数学教材，全书共分上、下两册，上册共分六章，内容包括：绪论，函数与极限，微积分的基本概念，积分的计算，微分中值定理与泰勒公式。向量代数与空间解析几何，多元函数微分学等；下册内容是多元函数积分学，级数与常微分方程。 本套教材的前身《高等数学简明教程》（全三册，北京大学出版社，1998）曾荣获教育部2002年全国普通高等学校优秀教材一等奖，本书第一版是在原书的基础上修订而成。 本书是作者在北京大学进行教学试点的成果。它对传统的高等数学课的内容体系作了适当的整合，力求突出数学概念与理论的实质，避免过分形式化，使读者对所讲内容感到朴实自然。本书强调数学理论与其他学科的联系。书中附有历史的注记，简要叙述相关概念和理论的发展演变过程，以及重要数学家的贡献。本书语言流畅，叙述简捷，深入浅出，有较多的例题，便于读者自学，每小节有适量习题，每章配置综合练习题，习题给出答案或提示供读者参考。 本书是第二次修订版，其指导思想是在保持第一版的框架与内容结构不变的基础上，对教材作少量必要的修改与补充，以使本书更进一步贴近读者，更好地体现教学基本要求。

李忠，北京大学数学科学学院教授、博士生导师。,李忠、周建莹，北京大学数学系教授。

第七章 重积分
§1 二重积分的概念与性质
1.二重积分的概念
2.二重积分的性质
习题7.1
§2 二重积分的计算
1.直角坐标系下的计算公式
2.在极坐标系下的计算公式
3.二重积分的一般变量替换公式
习题7.2
§3 三重积分的概念与计算
1.在直角坐标系下的计算
2.在柱坐标下的计算公式
3.在球坐标下的计算公式
4.在一般变量替换下的计算公式
习题7.3
§4 重积分的应用举例
1.重积分的几何应用
2.重积分的物理应用
习题7.4
第七章总练习题
第八章 曲线积分与曲面积分
§1 第一型曲线积分
1.第一型曲线积分的概念与性质
2.第一型曲线积分的计算
习题8.1
§2 第二型曲线积分
1.第二型曲线积分的概念
2.第二型曲线积分的计算
习题8.2
§3 格林公式平面第二型曲线积分与路径无关的条件
1.格林公式
2.平面第二型曲线积分与路径无关的条件
习题8.3
§4 第一型曲面积分
1.第一型曲面积分的概念
2.第一型曲面积分的计算
习题8.4
§5 第二型曲面积分
1.双侧曲面
2.第二型曲面积分的概念
3.第二型曲面积分的计算
习题8.5
§6 高斯公式与斯托克斯公式
1.高斯公式
2.斯托克斯公式
习题8.6
§7 场论初步
1.场的概念
2.数量场的等值面与梯度
3.向量场的通量与散度
4.向量场的环量与旋度
5.保守场
习题8.7
§8 外微分形式与一般形式的斯托克斯公式
1.外微分形式的概念
2.微分形式的外微分运算
3.一般形式的斯托克斯公式
习题8.8
第八章总练习题
第九章 常微分方程
§1 基本概念
习题9.1
§2 初等积分法
1.变量分离的方程
2.可化为变量分离方程的几类方程
3.一阶线性微分方程
4.全微分方程与积分因子
5.可降阶的二阶微分方程
习题9.2
§3 微分方程解的存在专享性定理
习题9.3
§4 高阶线性微分方程
1.二阶线性齐次方程通解的结构
2.二阶线性非齐次方程通解的结构
习题9.4
§5 二阶线性常系数微分方程
1.线性常系数齐次方程
2.若干特殊线性常系数非齐次方程的特解
习题9.5
§6 用常数变易法求解二阶线性非齐次方程与欧拉方程的解法
1.常数变易法
2.欧拉方程
习题9.6
§7 常系数线性微分方程组
习题9.7
第九章总练习题
第十章 无穷级数
§1 柯西收敛原理与数项级数的概念
1.柯西收敛原理
2.数项级数及其敛散性的概念
3.收敛级数的性质
习题10.1
§2 正项级数的收敛判别法
习题10.2
§3 任意项级数
1.交错级数
2.绝对收敛与条件收敛
3.狄利克雷判别法与阿贝尔判别法
习题10.3
§4 函数项级数
1.函数序列及函数项级数的一致收敛性
2.函数项级数一致收敛的必要条件与判别法
3.一致收敛级数的性质
习题10.4
§5 幂级数
1.幂级数的收敛半径
2.幂级数的性质
习题10.5
§6 泰勒级数
1.幂级数展开的必要条件与泰勒级数
2.函数能展开成幂级数的充分必要条件
3.初等函数的泰勒展开式
习题10.6
第十章总练习题
第十一章 广义积分与含参变量的积分
§1 广义积分
1.无穷积分
2.瑕积分
习题11.1
§2 含参变量的正常积分
习题11.2
§3 含参变量的广义积分
1.含参变量的无穷积分
2.含参变量的瑕积分
3.r函数与B函数
习题11.3
第十二章 傅氏级数
§1 三角函数系及其正交性
习题12.1
§2 周期为2π的函数的傅氏级数及其收敛性
1.周期函数的傅氏系数与傅氏级数
2.傅氏级数的收敛性定理及傅氏展开式
3.奇、偶周期函数的傅氏级数
4.任意周期的周期函数的傅氏级数
5.定义在有穷区间的函数的傅氏级数
习题12.2
§3 贝塞尔不等式与帕斯瓦尔等式
习题12.3
附录：傅氏积分与傅氏变换
1.傅氏积分
2.傅氏变换
第十二章总练习题
习题答案与提示