用数学的语言看世界

美国加州理工学院理论物理研究所所长，日本东京大学Kavli数学物理学联合宇宙研究机构研究主任 大栗博司 教授 日本数学启蒙名作 让喜欢数学的人更喜欢数学 让恐惧、厌恶数学的人开始喜欢数学 日本神户大学文理综合素养课程选定数学读物 日本《每日新闻》《钻石周刊》推荐图书 突破传统数学教育教学顺序、方式 / 以“语言思维”讲解数学核心概念、原理 / 回归“基本原理”重新认识数学本质

《用数学的语言看世界》为有名理论物理学家大栗博司先生写给女儿的数学启蒙书，书中以用“数学语言”解读自然为线索，突破传统数学教育的顺序和教学方式，用历史事件、生动故事以及比喻直接讲解数学核心概念的原理与相关体系，并且讲解了把数学作为一门“语言”、用数学探索自然不可见结构的思维方式，是重新认识和理解数学的科普佳作。

大栗博司 美国加州理工学院理论物理讲席教授，理论物理研究所（burkeinstitute.caltech.edu）所长，日本东京大学Kavli数学物理学联合宇宙研究机构（Kavli IPMU）研究主任。东京大学理学博士，发现了量子场论与超弦理论的深层数学构造，其研究曾获得美国数学学会大奖（2008年）、德国洪堡研究奖（2009年）、日本仁科纪念奖(2009年)、日本数学学会詹姆斯?西蒙斯奖（2012年），《超弦理论：探究时间、空间及宇宙的本原》获得2014年日本第30届日本讲谈社科学出版奖。著有前沿物理科普三部曲《引力是什么》《强力与弱力》《超弦理论》，数学入门科普《用数学的语言看世界》等。

第1章从不确定的信息中作出判断1
序欧·杰·辛普森审判与德肖维茨教授的辩护主张1
1.先来掷骰子3
2.赌博中的不败之法4
3.条件概率与贝叶斯定理8
4.乳腺癌检查是否没有意义？10
5.用数学来“学习经验”13
6.核电站重大事故再次发生的概率15
7.欧·杰·辛普森真的杀害了妻子吗？18
第2章回归基本原理21
序创新与创造的必要条件21
1.加法、乘法与运算三定律22
2.减法与0的发现25
3.(-1)×(-1)为何等于1？29
4.分数与无限分割32
5.假分数→带分数→连分数33
6.用连分数制作历法35
7.过去不被认可的无理数37
8.二次方程的华丽历史43
第3章大数字并不恐怖49
序最初的原子弹爆炸实验与“费米问题”49
1.大气中的二氧化碳究竟增加了多少51
1.1人类消耗了多少能量51
1.2人类排放了多少二氧化碳52
2.遇到大数字不必慌张53
3.让天文学家寿命倍增的秘密武器56
4.复利优选化的存款方法59
5.让银行存款翻倍需要多少年61
6.用对数透视自然法则64
第4章不可思议的素数69
序纯粹数学的精华69
1.埃拉托斯特尼筛法与素数的发现72
2.素数有无穷个74
3.素数的分布存在规律77
4.用素数判定“帕斯卡三角形”79
5.通过费马检测就是素数？82
6.保护通信秘密的“公钥密码”85
7.公钥密码的钥匙，欧拉定理87
8.信用卡卡号SSL传输的原理90
第5章无限世界与不完备性定理97
序欢迎来到加州旅馆！97
11=0.99999...让人难以接受？107
2.阿喀琉斯永远追不上乌龟？110
3.“我正在说谎”112
4.“不在场证明”与“反证法”114
5.哥德尔不完备性定理115
第6章测量宇宙的形状121
序古希腊人如何测量地球周长？121
1.基础中的基础，三角形的性质125
1.1证明三角形内角和为180°127
1.2让人终生难忘的“勾股定理”证明130
2.笛卡儿坐标与划时代的创想134
3.六维、九维、十维138
4.欧几里得公理不成立的世界140
5.唯独平行公理不成立的世界142
6.不用外部观测即可得知形状的“神奇定理”145
7.画一个边长为100亿光年的三角形148
第7章微分源于积分153
序来自阿基米德的书信153
1.为何先从积分开始？155
2.面积究竟如何计算156
3.任何形状都OK，阿基米德的夹逼定理158
4.积分究竟计算什么160
5.积分与函数164
6.飞矢不动？167
7.微分是积分的逆运算169
8.指数函数的微分与积分171
第8章真实存在的“假想数字”175
序假想的朋友，假想的数字175
1.平方为负的奇怪数字176
2.从一维的实数到二维的复数179
3.复数的乘法运算“旋转与伸长”185
4.从加法导出的加法定理189
5.用方程解决几何问题191
6.三角函数、指数函数与欧拉公式195
第9章测量“难”与“美”201
序伽罗瓦，20年的生涯与不灭功绩201
1.图形的对称性是什么206
2.“群”的发现210
3.二次方程求根公式的秘密214
4.三次方程为何可解218
5.方程可解是什么意思224
6.五次方程与正二十面体227
7.伽罗瓦最后的书信229
8.方程的“难度”与图形的“美”230
9.拥有第二个灵魂233
后记237

     第1章 从不确定的信息中作出判断 序 欧·杰·辛普森审判与德肖维茨教授的辩护主张 人生在世，有时需要作出重大决定。学校的考试题目只有一个答案，但是在现实社会中却往往没有正确答案，而且现实社会也不一定会向你提供有助于解答问题的所有材料。当我们必须要从不确定的信息中作出判断时，该如何是好呢？当我们获得新信息时，又该根据什么标准来更改自己的判断呢？现在，我来告诉你如何解决以上问题。 1994年，你还没有出生。那一年在美国洛杉矶发生了欧·杰·辛普森谋杀案，知名橄榄球运动员辛普森的前妻妮科尔·布朗及其友人罗纳德·古德曼被发现死于高曼的寓所外，辛普森被怀疑是杀害两人的凶手。辛普森退役后以演员和喜剧演员的身份参加各类活动，并且深受人们喜爱。因此，这个案件在当时备受关注。来自美国各地的律师们组成了辛普森的辩护团，被人们称为“梦之队”。另一方面，检察院也召集了最精明能干的检察官。甚至电视上还直播了这场“世纪审判”的审判情况。 检察院提交了辛普森常年对布朗施暴的证据，试图用家庭暴力证明其有杀人嫌疑。然而，辩护团中的一名律师、哈佛大学法学院的艾伦·德肖维茨教授引用了美国联邦调查局的一个犯罪统计，即虐待妻子的2500名丈夫中只有1人杀害了自己的妻子，并且主张应该忽略家庭暴力这个证据。结果检察院无力反驳，最终无法让陪审员信服辛普森的施暴行为造成了杀人行为。但是，德肖维茨教授的主张纯属诡辩，接近可以用数学语言驳倒。 刑事审判迫究的是有罪的“概率”。除非亲眼看见犯罪，否则就不能百分之百地断定有罪。检察院的工作就是要证明无罪的概率极小，法律术语叫作“排除合理怀疑，判定有罪”。至于多小的概率才能排除合理怀疑，这是一道数学无法判断的主观问题。法官和陪审员的职责正是对此作出判断。但是概率能用数字表达怀疑的程度，并通过这个数字来判断是否存在合理怀疑。这就是数学的力量。 用概率来讲，德肖维茨教授的主张是有家庭暴力的丈夫杀害妻子的概率是1/2500，因为这个概率极小，所以作为证据并无意义。法官和陪审员在作判断时，必须将所有相关信息考虑在内。实际上，德肖维茨教授忽略了一个重要的信息，即“妮科尔·布朗已经被杀害了”。如果把这个条件加进去的话，概率计算会出现接近不同的结果。第1章的目的之一就是解释以上概率问题。 第1章从不确定的信息中作出判断 1 先来掷骰子 概率是一种用数字表示某种主张正确率的方法。例如掷骰子的时候，掷出1的概率是多少呢？骰子有6面，分别标有1到6这6个数字。如果每一面都一样容易掷出的话，那么平均应该是6次里有1次会掷出1，即“掷出1的概率是1/6”。 不过，如果骰子特殊，也会出现容易掷出1的情况。这样一来，1/6的概率并不准确。只要通过反复实验，就能算出特殊骰子的概率。假设掷1000次骰子，掷出1的次数是496次，那么得出的概率大于1/6。将两个概率相比，496/1000=0.496大于1/6约等于0.167（在本书中，将1/6计算到小数点后4位，最后一位数采用四舍五入得出近似值，用符号□标记）。因为概率大于1/6，所以说明这颗骰子容易掷出1。除非骰子状态发生变化，否则再掷1000次骰子时掷出1的概率并不会发生改变。但是掷骰子的方法偶尔不同，所以无法保证是否能刚好掷出496次1。因此0.496这个概率不是一个准确的数字。如果想要算出更加准确的概率，那么需要增加掷骰子的次数。掷骰子的次数越多，实验得出的概率就越趋向于固定值。这个数学定律就是有名的“大数定律”。P1-3