近世代数及其应用

本书系统介绍了群、环、域、模等四种代数结构的基本理论、性质和研究方法，并简要介绍了它们在数学、编码和密码等领域的一些简单应用。全书共七章，第1章是预备知识，第2、3章介绍群论知识及其在计数问题中的应用，第4、5章介绍环论知识及其在编码和密码中的简单应用，第6章介绍域扩张理论及其在解决高次方程根式解问题和尺规作图问题中的应用，第7章介绍模论基础及其应用。本书可以作为数学、密码、通信等专业的本科生教材，也可以作为其他相关专业的研究生教材或者参考书。

前言
第1章 预备知识 1
1.1 集合和映射 1
习题1.1 5
1.2 等价关系 6
习题1.2 8
1.3 自然数的公理化定义 8
习题1.3 12
1.4 偏序集合和佐恩引理 12
习题1.4 15
1.5 代数运算和代数系统 15
习题1.5 19
第2章 群论基础 21
2.1 群的定义及性质 21
习题2.1 24
2.2 子群、子集生成的子群.25
习题2.2 27
2.3 陪集、指数、拉格朗日定理 28
习题2.3 32
2.4 群元素的阶 32
习题2.4 35
2.5 循环群的性质 35
习题2.5 39
2.6 变换群和置换群 39
习题2.6 46
2.7 群的同态和同构 46
习题2.7 49
2.8 正规子群和商群 49
习题2.8 54
2.9 置换群的性质 55
习题2.9 60
第3章 群作用及其应用 61
3.1 群的同构定理 61
习题3.1 64
3.2 群的自同构群 64
习题3.2 67
3.3 共轭关系、群方程 67
习题3.3 72
3.4 群在集合上的作用 72
习题3.4 76
3.5 伯恩赛德引理及其应用＊ 77
习题3.5 82
3.6 西罗定理 82
习题3.6 88
3.7 群的直和 89
习题3.7 93
3.8 换位子群与可解群＊ 93
习题3.8 96
第4章 环论基础 97
4.1 环、子环、环同态 97
习题4.1 102
4.2 各种特殊类型的环 103
习题4.2 106
4.3 理想与商环 107
习题4.3 110
4.4 环的同构定理 111
习题4.4 114
4.5 素理想和极大理想 114
习题4.5 116
4.6 环的直和 117
习题4.6 122
第5章 多项式环及整环的性质 123
5.1 交换幺环上的多项式环 123
习题5.1 127
5.2 整除、相伴、不可约元和素元.128
习题5.2 131
5.3 专享分解整环 132
习题5.3 135
5.4 主理想整环 136
习题5.4 138
5.5 欧几里得整环 138
习题5.5 141
5.6 专享分解整环上的多项式环 141
习题5.6 146
5.7 整环的商域 146
习题5.7 148
5.8 环在编码和密码中的应用＊ 148
第6章 域扩张理论及其应用 152
6.1 素域和域的扩张 152
习题6.1 153
6.2 代数元、超越元、单扩张 154
习题6.2 157
6.3 有限扩张和代数扩张157
习题6.3 162
6.4 分裂域和正规扩张 163
习题6.4 168
6.5 可分扩张 168
习题6.5 176
6.6 分圆域 176
习题6.6 179
6.7 伽罗瓦扩张 180
习题6.7 187
6.8 伽罗瓦基本定理 187
习题6.8 193
6.9 尺规作图问题求解＊ 194
第7章 模论基础及其应用 198
7.1 模的基本概念 198
习题7.1 204
7.2 模的直和 206
习题7.2 208
7.3 自由模 208
习题7.3 214
7.4 主理想整环上的自由模 215
习题7.4 218
7.5 有限生成扭模的分解219
习题7.5 223
7.6 有限生成模的标准分解及其专享性 224
习题7.6 229
7.7 有限生成模分解的应用 230
习题7.7 238
7.8 模的其他例子＊ 239
参考文献 243