基础复分析

本书是为大学数学系基础复分析课程编写的教材。全书共七章，内容包括：复数、点集拓扑基础、复函数、初等共形映射复积分、级数与乘积展开、共形映射与Dirichlet问题。本书在选材上注重几何直观。在内容上力求全面，包括了特殊函数的基础内容在写作上叙述精练。各章配有适量习题。本书也可作为相关专业的教学参考书。

前言
第1章复数
1.1复数代数
1.1.1算术运算
1.1.2平方根
1.1.3合理性
1.1.4共轭和绝对值
1.1.5不等式
1.2复数的几何表示
1.2.1加法与乘法的几何表示
1.2.2高次单位根
1.2.3解析几何
1.2.4球面表示
1.2.5一般位置的球极投影
习题1
第2章点集拓扑基础
2.1集合与元素
2.2度量空间
2.3拓扑空间
2.4连通性
2.5紧致性
2.6连续函数
2.7一致收敛性
习题2
第3章复函数
3.1解析函数
3.1.1解析函数的定义
3.1.2导数的几何意义
3.1.3调和函数
3.1.4形式偏导数
3.1.5多项式
3.1.6有理函数
3.2幂级数的基础概念
3.2.1幂级数
3.2.2Abel极限定理
3.3指数函数和三角函数
3.3.1指数函数
3.3.2三角函数
3.3.3周期性
3.3.4对数函数
习题3
第4章初等共形映射
4.1分式线性变换
4.1.1保圆性
4.1.2交比
4.1.3对称性
4.1.4分式线性变换的不动点与分类
4.1.5分式线性变换的其他表示
4.2二次多项式与有理函数
4.3三次多项式
4.4指数函数与三角函数
4.5初等共形映射
习题4
第5章复积分
5.1Cauchy定理.
5.1.1线积分
5.1.2全微分
5.1.3矩形上的Cauchy定理
5.1.4圆盘内的Cauchy定理
5.2Cauchy积分公式
5.2.1环绕数
5.2.2积分公式
5.2.3高阶导数
5.3解析函数的局部性质
5.3.1可去奇点与Taylor定理
5.3.2零点和极点
5.3.3局部映射
5.3.4优选模原理
5.4Cauchy定理的一般形式
5.4.1链和闭链
5.4.2单连通性
5.4.3Cauchy定理的一般形式的证明
5.4.4局部恰当微分
5.4.5多连通性
5.5留数计算
5.5.1留数定理
5.5.2辐角原理
5.5.3定积分计算
5.6调和函数
5.6.1定义和基本性质
5.6.2均值性质
5.6.3Poisson公式
5.6.4Schwarz定理
5.6.5反射原理
习题5
第6章级数与乘积展开
6.1幂级数展开式
6.1.1Weierstrass定理
6.1.2Taylor级数
6.1.3Laurent级数
6.2部分分式与因子分解
6.2.1部分分式
6.2.2典范乘积
6.3函数
6.3.1函数的定义
6.3.2Legendre加倍公式
6.3.3Stirling公式
6.3.4函数的积分表示
6.4Riemannζ函数
6.4.1乘积展开
6.4.2ζ(s)扩张到整个平面
6.4.3函数方程与ζ函数的零点
6.5椭圆函数
6.5.1周期函数
6.5.2模群
6.5.3椭圆函数的一般性质
6.5.4WeierstrassP函数
6.5.5函数ζ(z)与σ(z)
6.5.6微分方程
6.5.7椭圆模函数
6.6正规族
6.6.1Arzela-Ascoli定理
6.6.2解析函数族
6.6.3亚纯函数族
习题6
第7章共形映射与Dirichlet问题
7.1单连通区域上的共形映射
7.1.1Riemann映射定理
7.1.2边界对应
7.2多边形上的共形映射
7.2.1Schwarz-Christoffel公式
7.2.2三角形和矩形上的共形映射
7.3Dirichlet问题
7.3.1具有均值性质的函数
7.3.2Harnack原理
7.3.3次调和函数
7.3.4Dirichlet问题的解
7.4多连通区域的典范映射
7.4.1调和测度
7.4.2Green函数
7.4.3平行割线区域
习题7
索引