数学与生活(修订版)

   日本数学教育议会创立者 远山启     理念实践之作     跨越学科边界     突破文理之限     以平衡视角探寻人类质朴的智慧     通俗讲解 还原数学纯粹容颜     生活故事 诠释小学到大学数学原理与精髓     人性思维 消解“应试数学”带来的数学恐惧感

本书以生动有趣的文字，系统地介绍了从数的产生到微分方程的全部数学知识，包括初等数学和高等数学两方面内容之精华。这些知识是人们今后从事各种活动所必须的。书中为广大读者着想，避开了专用术语，力求结合日常逻辑来介绍数学。读来引人入胜，枯燥之感。从中不但可得益于数学，而且还可学到不少物理、化学、天文、地理等方面的知识。

    远山启（1909－1979），1938年日本东北大学理学部代数学专业毕业。日本当代数学教育家，日本数学教育议会创办人、初代委员长，倡导改革传统的应试数学教育方式，创立“水管式教学法”“磁砖指导法”等新式的数学教学方法。他在学术方面造诣很深，著述颇丰。如《限与连续》《现代数学对话》《函数论》等。

第1章 数的幼年期 1
1.1 从未开化到文明 1
1.2 数的黎明 2
1.3 一一对应 4
1.4 分割而不变 5
1.5 数的语言 6
1.6 数词的发展 7
1.7 手指计数器 10
1.8 金字塔 11
1.9 二十进制 14
1.10 十二进制 16
1.11 六十进制 17
1.12 定位与0的祖先 17

第2章 离散量和连续量 19
2.1 多少个和多少 19
2.2 用单位测量 20
2.3 连续量的表示方法 22
2.4 分数的意义 25
2.5 折叠和扩展 27
2.6 分数的比较 29
2.7 分数的加法和减法 30
2.8 乘法的扩大解释 32
2.9 乘减少，除增大 34
2.10 小数的意义 37
2.11 分数和小数 38
2.12 循环小数和分数 41
2.13 非循环小数 43
2.14 加减和乘除 44
2.15 数学和现实世界 47

第3章 数的反义词 49
3.1 正和负 49
3.2 新数的名称 50
3.3 负的符号 52
3.4 正和负的加法 53
3.5 减法运算 54
3.6 司汤达的疑问 55
3.7 乘法运算规则 56
3.8 与实际的联系 58
3.9 有理数的域 60
3.10 代数和61

第4章 代数——灵活的算数 63
4.1 代名词的算术 63
4.2 代数的文法·交换律 65
4.3 结合律 66
4.4 分配律 68
4.5 方程 70
4.6 代数的语源 73
4.7 龟鹤算 73
4.8 一次方程 75
4.9 联立方程 78
4.10 矩阵和向量 80
4.11 矩阵的计算 84
4.12 联立方程和矩阵 88
4.13 奇妙的代数 89

第5章 图形的科学 94
5.1 两部长期畅销书 94
5.2 分析的方法 95
5.3 分析和综合 96
5.4 连接 98
5.5 全等三角形 100
5.6 公理 101
5.7 泰勒斯定理 103
5.8 驴桥定理 105
5.9 条件和结论 107
5.10 对称性 109
5.11 定理的联系 112
5.12 三边全等定理 114
5.13 捉老鼠的逻辑——反证法 116
5.14 脊背重合 117
5.15 垂直于平面的直线 119
5.16 平行线 120
5.17 三角形的内角 123
5.18 驴都知道 124
5.19 驴解决不了的问题 127
5.20 倒推法 129
5.21 与三点等距离的点 130

第6章 圆的世界 133
6.1 直线和圆的世界 133
6.2 神的难题 136
6.3 圆的四边形化 138
6.4 圆周角不变定理 140
6.5 面积 144
6.6 毕达哥拉斯定理 148
6.7 长度计算法 151
6.8 从触觉到视觉 153
6.9 相似和比例 156
6.10 相似的条件 158
6.11 五角星 162
6.12 五角星的秘密 164
6.13 有理数普遍存在 166
6.14 理数普遍存在 168
6.15 实数 169

第7章 复数——最后的乐章 171
7.1 二次方程 171
7.2 二次方程的解法 173
7.3 先天不足的数 175
7.4 复数 177
7.5 加法和减法 179
7.6 乘法和除法 181
7.7 正多边形 185
7.8 正五边形 188
7.9 高斯的发观 190
7.10 三次方程 191
7.11 卡尔达诺公式 193
7.12 数的进化 197
7.13 四则逆运算 198
7.14 代数学的基本定理 200

第8章 数的魔术与科学 202
8.1 万物都是数 202
8.2 数的魔术 204
8.3 恒等式 205
8.4 恒等式的计算法 210
8.5 求约数的方法 211
8.6 公倍数与公约数 214
8.7 素数 217
8.8 分解的唯一性 219
8.9 费马定理 221
8.10 循环小数 222

第9章 变化的语言——函数 224
9.1 变与不变 224
9.2 变数和函数 226
9.3 正比例 229
9.4 鹦鹉的计算方法 230
9.5 变化的形式 231
9.6 各种类型的函数 232
9.7 图表 234
9.8 函数的图表 235
9.9 解析几何学 239
9.10 直线 240
9.11 相交和结合 242
9.12 贝祖定理 244
9.13 圆锥曲线 246
9.14 二次曲线 248

第10章 穷的算术——极限 251
10.1 运动和穷 251
10.2 穷级数 253
10.3 穷悖论 255
10.4 没有答案的加法 257
10.5 一种空想的游戏 259
10.6 柯西的收敛条件 263
10.7 收敛和加减乘除 266
10.8 规则的数列 269
10.9 帕斯卡三角形 271
10.10 数学归纳法 273
10.11 高斯分布 276
10.12 阶差 277

第11章 伸缩与旋转 281
11.1 老鼠算 281
11.2 2倍的故事 283
11.3 数砂子 284
11.4 负的指数 285
11.5 分数的指数 286
11.6 指数函数 288
11.7 对数 290
11.8 连续的复利法 292
11.9 旋转 294
11.10 正弦曲线和余弦曲线 297
11.11 极坐标 299
11.12 正弦定理和余弦定理 300
11.13 海伦公式 302
11.14 永远曲线 304
11.15 欧拉公式 306
11.16 加法定理 308

第12章 分析的方法——微分 310
12.1 望远镜和显微镜 310
12.2 思考的显微镜 311
12.3 微分 314
12.4 流量和流率 316
12.5 指数函数的微分 317
12.6 函数的函数 322
12.7 反函数 323
12.8 函数的函数的微分 325
12.9 内插法 329
12.10 泰勒级数 333
12.11 最大最小 335
12.12 最小原理 339

第13章 综合的方法——积分 342
13.1 分析与综合 342
13.2 德谟克里特方法 344
13.3 球的表面积·阿基米德方法 346
13.4 双曲线所围成的面积 348
13.5 定积分 351
13.6 卡瓦列里原理 354
13.7 基本定理 357
13.8 不定积分 361
13.9 积分变换 364
13.10 酒桶的体积 364
13.11 科学和艺术 367
13.12 各种各样的地图 367
13.13 摆线围成的面积 371
13.14 曲线的长度 372

第14章 微观世界——微分方程 375
14.1 逐步解决法 375
14.2 方向场 377
14.3 折线法 379
14.4 落体法则 381
14.5 线性微分方程 383
14.6 振动 386
14.7 衰减振动 388
14.8 从开普勒到牛顿 389
14.9 积分定律和微分定律 393
14.10 拉普拉斯的魔法 394
14.11 锁链的曲线 395

附录 399
参考文献 401
后记 402