数值泛函及其应用

本书用通俗浅显的语言介绍了泛函分析中与工程计算、数值逼近有密切关系的基本理论和有关重要定理及公式，如距离空间中的压缩映像原理与迭代法；Banach空间中的线性泛函与线性逼近；Hilbert空间中的正交分解、投影与逼近；Fourier分析与快速Fourier变换；泛函求极值的变分理论，有限元的变分原理及计算方法，小波理论及Mallat算法等。书中另一重要内容副博在上述数值泛函的框架下，将变分理论、Fourier分析、有限元分析、小波分析等应用于工程计算所取得的科研成果。本书可作为高校相关专业的工科研究生的教学参考书，也可供相关领域的工程技术人员参考。

《信息与计算科学丛书》序
前言
第1章预备知识1
1.1泛函分析初识1
1.2集合、元素1
1.3空间与映射2
1.4几个基础的拓扑概念3
1.5坐标与空间4
第2章距离空间与压缩映像原理5
2.1距离空间5
2.1.1定义和例5
2.1.2收敛概念和完备性7
2.1.3距离空间上的映射12
2.2压缩映像原理及应用13
2.2.1定义和例14
2.2.2压缩映像原理14
2.3压缩映像原理与迭代法16
2.3.1压缩算子与迭代法16
2.3.2压缩算子的判定18
2.3.3两种常用的迭代法21
2.4压缩映像原理在微分方程中的应用26
2.5压缩映像原理在积分方程中的应用28
第3章Banach空间及线性逼近33
3.1定义和实例33
3.1.1线性空间的定义33
3.1.2赋范线性空间的定义33
3.1.3例34
3.1.4Banach空间35
3.2按范数收敛35
3.2.1定义36
3.2.2性质36
3.3线性算子和线性泛函37
3.3.1算子37
3.3.2线性泛函40
3.4Banach空间中的各种收敛42
3.4.1元素序列的收敛性42
3.4.2算子序列的收敛性43
3.4.3泛函序列的收敛性43
3.4.4几个结论44
3.5Banach空间中的线性逼近44
3.5.1线性无关和线性表示44
3.5.2Banach空间中的线性逼近45
第4章Hilbert空间及投影逼近48
4.1定义和例48
4.1.1内积空间的定义48
4.1.2内积的性质49
4.1.3Hilbert空间51
4.1.4例51
4.2正交分解与投影定理52
4.2.1正交的概念与正交分解52
4.2.2投影定理53
4.3H空间中的广义Fourier分析53
4.3.1正交系、规范正交系54
4.3.2H空间中的广义Fourier级数55
4.4函数空间中的很好逼近57
4.4.1函数空间中的投影定理58
4.4.2函数逼近的算例59
4.5各种数值逼近的泛函背景67
4.5.1坐标、空间与量化67
4.5.2转化与逼近68
4.5.3基的选取和构造69
4.5.4常用的子空间70
第5章Fourier分析及其应用72
5.1三角基的正交性72
5.2Fourier级数和Fourier积分73
5.2.1Fourier级数73
5.2.2Fourier积分75
5.3Fourier变换和非周期函数的频谱78
5.3.1Fourier变换78
5.3.2非周期函数的频谱78
5.4离散Fourier变换和快速Fourier变换84
5.4.1离散Fourier变换84
5.4.2快速Fourier变换85
5.5应用算例86
5.5.1信号频率确定86
5.5.2ECG信号去噪87
第6章变分理论及其应用90
6.1变分问题简介90
6.2变分原理92
6.3变分直接法95
6.3.1泛函的极小化序列95
6.3.2Ritz法95
6.3.3Galerkin法98
6.3.4基函数的选取99
6.4变分法的革新和前景101
6.4.1变分与有限元101
6.4.2变分PDE与图像处理102
6.5TV变分模型的改进及应用102
6.5.1TV变分模型在图像恢复中的研究现状103
6.5.2基于TV和各向异性扩散方程的图像恢复模型104
6.5.3“纯粹的”各向异性扩散方程104
6.5.4新模型的提出105
6.5.5新模型的离散格式106
6.5.6应用仿真107
第7章有限元分析及其应用109
7.1有限元法简介109
7.1.1有限元的思想起源和发展109
7.1.2有限元的变分原理109
7.1.3Galerkin有限元110
7.2有限元基的几何描述111
7.3有限元法的解题步骤113
7.4基于拓扑有向图的有限元方法119
7.4.1电磁场与有向图119
7.4.2场的线性化120
7.4.3数学模型122
7.4.4算例123
7.5电机磁场的有限元分析126
7.5.1有限元法126
7.5.2计算模型126
7.5.3有限元解128
7.5.4解的讨论134
第8章小波分析及其应用136
8.1小波分析与Fourier分析136
8.2小波基与多分辨分析138
8.3小波级数与小波变换140
8.3.1小波级数140
8.3.2小波变换141
8.4Mallat算法143
8.4.1基本思想143
8.4.2Mallat分解算法145
8.4.3Mallat重构算法146
8.4.4Mallat算法的矩阵形式146
8.5小波分析在信号去噪中的应用147
8.5.1小波模极大值去噪方法148
8.5.2基于小波系数区域相关的阈值滤波方法150
8.5.3小波阈值去噪152
本书参考文献159
附录A变分、网络与有限元162
A.1古典变分的危机162
A.2差分网络法的特点165
A.3有限元法的优点168
A.4算例174
参考文献178
附录BBesov空间中的变分模型179
B.1研究背景179
B.1.1Besov空间的描述179
B.1.2变分PDE在图像分解中的研究现状180
B.2一类基于Besov空间与负Hilbert-Sobolev空间的变分模型183
B.2.1主要思想183
B.2.2新变分模型的极小化183
B.2.3新变分模型的解与小波阈值之间的关系184
B.2.4实验仿真189
B.3基于投影的图像分解变分模型192
B.3.1新变分模型的极小化192
B.3.2小波阈值与投影之间的关系196
B.3.3实验仿真199
B.4一类基于Besov空间与齐次Besov空间的变分模型202
B.4.1(Bs1,1,E)模型203
B.4.2(|u|pBsp,p,||v||E)模型205
B.4.3(|u|Bsp,p,||v||E)模型207
B.4.4算法208
B.4.5算法的收敛性分析209
B.4.6实验仿真210
B.5小结216
参考文献217
附录C基于波原子变换的图像去噪算法220
C.1引言220
C.2波原子理论221
C.2.1波原子的定义221
C.2.2波原子的构造及变换系数221
C.3波原子在图像处理中的应用224
C.3.1波原子硬阈值去噪算法224
C.3.2仿真实验与分析224
C.4结合全变差最小的波原子去噪算法228
C.4.1全变差正则化模型229
C.4.2结合全变差最小的波原子去噪算法229
C.4.3仿真实验与分析230
C.5结合循环平移的波原子去噪算法233
C.5.1循环平移思想233
C.5.2结合循环平移的波原子去噪算法234
C.5.3仿真实验与分析234
C.6小结237
参考文献237
《信息与计算科学丛书》已出版书目239