大学数学进阶1

本书是中山大学中法核工程与技术学院三年级第一学期的数学教材，包括以下主要内容：数项级数、代数的回顾和补充、赋范向量空间、向量值函数的求导、函数项序列和级数、线性变换和矩阵的化简及其在求解线性微分系统中的应用、多变量函数的微分演算和微分形式的介绍。这些内容涉及不同的数学分支，读者在阅读本书前需对某些数学分支的基础内容有所了解。在每章的开头部分，列出了学习该章内容所需的预备知识。本书可作为中法合作办学单位的预科数学教材，也可作为其他相关专业数学类课程的参考教材。

序
前言
译者的话
第1章数项级数1
1.1级数的概述：回顾2
1.1.1级数的定义和术语2
1.1.2收敛、发散、明显发散和绝对收敛3
1.1.3收敛级数的运算5
1.2正项级数5
1.2.1知识回顾5
1.2.2余项或部分和的比较15
1.2.3Stirling(斯特林)公式19
1.2.4两个正项级数的Cauchy(柯西)积21
1.2.5实数的十进制展开24
1.3实数项级数28
1.3.1知识回顾28
1.3.2两个绝对收敛级数的Cauchy积30
1.4复数项级数32
1.4.1绝对收敛和条件收敛的级数32
1.4.2等比级数和指数级数34
1.4.3Abel(阿贝尔)变换及其应用35
1.4.4两个绝对收敛级数的Cauchy积36
1.4.5比较关系的求和37
1.5可和族和Fubini(富比尼)定理的回顾39
1.5.1可和的正数族39
1.5.2正的二重级数41
1.5.3可和的复数族42
1.5.4复的二重级数43
第2章代数的回顾和补充46
2.1线性代数47
2.1.1线性无关族47
2.1.2生成族51
2.1.3基52
2.1.4由基的像来刻画线性映射56
2.1.5维数的性质的回顾57
2.1.6向量子空间的和与直和60
2.1.7秩定理68
2.1.8线性映射的矩阵以及矩阵的分块计算69
2.1.9对偶77
2.2对称群91
2.2.1对称群、轮换和对换的定义91
2.2.2对称群的生成元94
2.2.3置换的符号95
2.3行列式98
2.3.1n-线性型、对称的、反对称的以及交错的98
2.3.2在基B下的行列式101
2.3.3用行列式来刻画基底103
2.3.4线性变换的行列式105
2.3.5方阵的行列式107
2.3.6矩阵行列式的实际计算111
第3章赋范向量空间116
3.1向量空间上的范数以及相应的距离117
3.1.1范数和相应的距离的定义117
3.1.2范数的性质以及点到集合的距离119
3.1.3常用的范数120
3.1.4范数的比较123
3.2赋范向量空间的初等拓扑129
3.2.1开集、闭集、有界集129
3.2.2闭包和内部136
3.2.3稠密子集138
3.3赋范向量空间中的序列139
3.3.1收敛和发散139
3.3.2收敛序列的代数运算140
3.3.3比较关系141
3.3.4闭包、稠密子集和闭集的序列刻画143
3.3.5子列、聚点以及紧子集145
3.3.6Cauchy(柯西)序列和完备空间150
3.4在一点处的极限和连续性154
3.4.1定义和主要性质154
3.4.2极限的运算157
3.4.3极限和连续性的序列刻画159
3.4.4在赋范向量空间的笛卡儿积取值的函数的情况161
3.4.5Cauchy判据165
3.5全局连续性166
3.5.1定义和基本性质166
3.5.2连续性的拓扑刻画168
3.5.3空间B(X;F)和无穷范数170
3.5.4紧集在连续映射下的像172
3.5.5一致连续性和Heine(海涅)定理173
3.5.6Lipschitz(利普希茨)映射以及不动点定理175
3.6线性映射的连续性178
3.6.1连续性的判据178
3.6.2线性映射的算子范数181
3.6.3推广到n-线性映射的情况186
3.7有限维向量空间的情况189
3.7.1范数的等价189
3.7.2单位闭球的紧性和紧集的刻画191
3.7.3完备性192
3.7.4线性映射和多重线性映射的情况193
3.8赋范代数中的级数194
3.8.1概述195
3.8.2Banach空间中的级数196
3.8.3赋范代数的情况以及矩阵的指数197
第4章向量值函数的求导201
4.1单实变量向量值函数的求导202
4.1.1定义和基本性质202
4.1.2用坐标函数来刻画206
4.1.3可导函数的运算207
4.1.4有限增量不等式211
4.1.5高阶导数213
4.1.6分段Cn的函数217
4.2实值函数的情况219
4.2.1重要定理回顾219
4.2.2同胚和Ck-微分同胚221
4.3极限展开以及Taylor(泰勒)公式223
4.3.1向量值函数的比较关系223
4.3.2带积分余项的Taylor公式224
4.3.3Taylor-Lagrange不等式225
4.3.4Taylor-Young(泰勒-杨)公式226
4.3.5极限展开228
4.4附录229
4.4.1有限增量不等式的证明229
第5章函数项序列和级数232
5.1定义和收敛模式233
5.1.1简单收敛233
5.1.2一致收敛以及一致收敛的Cauchy准则236
5.1.3函数项级数的正规收敛243
5.1.4不同收敛模式的比较245
5.1.5其他收敛模式246
5.2函数项序列/级数的极限的性质247
5.2.1双重极限定理247
5.2.2极限的连续性251
5.2.3函数项序列在闭区间上的积分257
5.2.4函数项序列或级数的求导260
5.2.5函数项序列在任意区间上的积分268
5.3闭区间上的逼近定理276
5.3.1在闭区间上用阶梯函数逼近分段连续函数276
5.3.2在闭区间上用多项式函数逼近连续函数276
5.3.3用三角多项式逼近周期函数277
第6章线性变换和矩阵的化简及其在求解线性微分系统中的应用278
6.1稳定空间、特征值和特征向量279
6.1.1稳定子空间279
6.1.2特征值、特征向量、特征空间和谱280
6.1.3特征空间的性质282
6.2可对角化的自同态和矩阵285
6.2.1可对角化的自同态：定义和例子285
6.2.2可对角化的矩阵287
6.2.3特征多项式289
6.2.4可对角化的第一类判据293
6.2.5例子和反例295
6.2.6同时对角化297
6.3应用于微分系统299
6.3.1线性微分方程和线性Cauchy-Lipschitz(柯西-利普希茨)定理299
6.3.2常系数线性微分方程的特殊情况301
6.3.3求解微分系统和线性微分方程组的例子303
6.4自同态或矩阵的多项式305
6.4.1定义和计算法则305
6.4.2零化多项式和Cayley-Hamilton(凯莱-哈密顿)定理307
6.4.3可对角化的第二类判据310
6.5三角化312
6.5.1定义和例子312
6.5.2可三角化的充分必要条件313
6.5.3三阶方阵的三角化314
6.5.4同时三角化317
6.5.5应用于矩阵乘方或指数的计算318
6.5.6当A可对角化时微分系统X0=AX+B的求解318
6.6附录319
6.6.1特征多项式的性质的证明319
6.6.2Cayley-Hamilton定理的证明321
第7章微分演算和微分形式的介绍323
7.1多变量函数的极限和连续性324
7.1.1开集、闭集、有界集、紧集、完备集、凸集、星形集324
7.1.2极限和连续性326
7.1.3坐标映射和部分函数328
7.2偏导数、微分以及C1的函数329
7.2.1方向导数330
7.2.2一阶偏导数331
7.2.3与坐标映射的联系333
7.2.4映射在一点处的微分和雅可比矩阵333
7.2.5可微性、连续性和方向导数的存在性之间的联系336
7.2.6函数的微分以及C1的函数340
7.3C1函数的运算341
7.3.1R-向量空间的结构341
7.3.2实值函数的特殊情况342
7.3.3复合343
7.3.4C1映射的刻画349
7.3.5有限增量不等式及其应用349
7.4高阶偏导数351
7.4.1二阶偏导数351
7.4.2C2函数以及Schwarz(施瓦茨)定理352
7.4.3黑塞矩阵以及二阶极限展开353
7.4.4求解偏微分方程的例子355
7.4.5Ck的函数(k>2)357
7.4.6Ck-微分同胚的刻画358
7.5很优化359
7.5.1内部局部极值存在的一阶必要条件359
7.5.2Monge(蒙日)记号以及局部极值存在的二阶充分条件360
7.6一次微分形式362
7.6.1定义和例子362
7.6.2闭的形式、恰当的形式以及Poincare(庞加莱)定理363
7.6.3微分形式的曲线积分365
7.6.4与向量场的环量的联系366
7.6.5曲线积分的性质369
7.6.6Green(格林)公式370
7.7附录371
7.7.1C1映射的刻画定理的证明371
7.7.2Schwarz定理的证明374
7.7.3Taylor-Young公式的证明376