一、数学是什么
这里所要说明的“数学”这一个词，包含着算术、代数、几何、三角，等等在内。用英文名词来说，那就是Mathematics。它的定义，照平常的想法，非常简单而且非常明了，几乎已用不到再加说明。但真要说明，那却问题很多。且先举罗素在他所著的《神秘主义与逻辑及其他论文》提出的定义，真是叫人莫名其妙，好像在开玩笑的一般。他说：
“Mathematics may be defined as the subject in which we never know what we are talking about，nor whether what we are saying is true.”
将这句话很粗疏地译出来，就是：
“数学是这样的一回事，弄它这种玩意儿的人也不知道自己究竟在干些什么。”
这样的定义，它的惝恍迷离，它的其妙莫测”，真是“不说还明白，一说反糊涂”。然而，要将已经发展到现时的数学的领域统括得接近，要将它的繁复灿烂的内容表示得活跃，好像除了这样也没有别的更好的话可说了。所以帕佩里茨、伊特尔森和路易．古度拉特几位先生对于数学所下的定义也是和这个气味相同的。
对于数学的一般的读者，这定义，恐怕反使得大家堕入五里雾中，因此拨云雾见青天的工作似乎少不来了。罗素所下的定义，它的价值在什么地方呢？它所指示的是什么呢？要回答这些问题，还是用数学的其他的定义来相比较更容易明白。 在希腊，亚里士多德那个时代，不用说，数学的发达还很幼稚，领域也极狭小，所以数学的定义只需说它是一种“计量的科学”，已很可使人心满意足了。可不是吗？这个定义，初学数学的人是极容易明白而且能够满足的。他们解四则问题、学复名数②的计算，再进到比例、利息，无一件不是在计算量。就是学到代数、几何、三角，也还不容易发现这个定义的破绽。然而仔细一想，它实在有些不妥帖。第一，什么叫作量，虽则我们可以常识来解释，但真要将它的内涵弄个明白，也不容易。因此用它来解释别的名词，依然不能将那名词的概念明了地表出。第二，就是照常识来解释量，所谓计量的科学这个谓语也不能够就明确地划定数学的领域。像测量、统计这些科学，虽则它们各有特殊的目的，它们也只是一种计量。由此可以知道，单用“计量的科学”这一个谓语联系到数学而成一个数学的定义，未免广泛了一点。
若进一步去探究，这个定义的欠缺还不止这两点，所以孑L德就加以修改而说：“数学是间接测量的科学。”照前面的定义，数学是计量的科学，那么必定要有量才有可计算的，但它所计的量是用什么手段得来的呢？用了一支尺就可以量一幅布有几尺几寸宽，有几丈几尺长；用了一杆秤就可以量一袋米有几斤几两重，这自然是可以直接办到的。但若行星轨道的广狭、行星自己的体积，或是很小的分子的体积，这些就不是人力所能直接测定的，然而由数学的方法可以间接将它们计算出来。因此，孔德所下的这个定义，虽则不能将前一个定义的缺点全然补正，但总是较进一步了。
孔德究竟是19世纪前半期的人物，虽则他是一个的哲学家和数学家，但在他的时代，数学的领域远不及现在的广阔，如群论、位置分析、射影几何、数论，以及逻辑代数等，这些数学的支流的发展，都是他以后的事。而这些支流和量或测量实在没甚关系。即如笛沙格所证明的一个极有兴味的定理：
“两三角形的顶点若在集交于一点的三直线上，则它们的相应边的交点就在一条直线上。”
这个定理的证明，就只用到位置的关系而和量毫不相干。数学的这种进展，自然是轻轻巧巧地便将孔德所给的定义攻破了。
到了1870年，皮尔士就另外给数学下了一个这样的定义：
“数学是产生‘必要的’结论的科学。”
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