解析数论基础

哥德巴赫猜想、孪生素数、素数分布、华林问题，除数问题、圆内整点问题、整数分拆及黎曼猜想等有名数论问题吸引了古今无数的数学爱好者。本书全面详细地讨论了迄今为止研究这些问题的重要的分析方法、理论和结果，介绍了它们的历史及新进展，是研究这些问题必不可少的入门书。读者对象是大学高年级学生、研究生、数论工作者以及具有一定数论知识及分析知识的数学爱好者。

序 i
符号说明 iv
绪论 1
第一章 Fourier变换 17
1.Fourier积分与Fourier变换 17
2.Mellin变换的反转公式 19
3.Laplace变换的反转公式20
第二章 求和公式 20
1.Abel分部求和法 22
2.Euler-MacLaurin求和法 24
3.Poisson求和法29
习题 35
第三章 F函数 39
1.无穷乘积 39
2.F函数的基本性质 43
3.Stirling公式 49
习题 55
第四章 几个函数论定理 57
1.Jensen定理 57
2.Borel-Caratheodory定理 60
3.Hadamard三圆定理 62
4.Phragmen-Lindelof定理 63
第五章 有穷阶整函数 67
1.有穷阶整函数 67
2.收敛指数与典型乘积 69
3.Hadamard因式分解定理 74
第六章D irichlet级数 79
1.定义与收敛性 79
2.专享性定理 85
3.常义Dirichlet级数的运算 86
4.常义Dirichlet级数的Euler乘积表示 92
5.常义Dirichlet级数的Perron公式 96
6.在垂直线上的阶 106
7.积分均值公式 109
习题 110
第七章 （s）的函数方程与基本性质 123
1.函数方程（一）（Euler-MacLaurin 求和法） 123
2.函数方程（二）（复变积分方法） 130
3.函数方程（三）（Poisson求和法） 134
4.在s=1附近的性质 137
5.最简单的阶估计 139
习题 143
第八章 （s）的零点展开式 156
1.（s）的无穷乘积 156
2.（s）和 （s）的零点展开式 157
3.非显然零点的简单性质 160
4.零点展开式的简化 162
5.log 164
习题 166
第九章（s）的非显然零点的个数 168
1.基本关系式 168
2.渐近公式（一） 169
3.渐近公式（二）171
4.S（T）的性质 175
习题.179
第十章（s）的非零区域 182
1.（1+ it）=0 182
2.非零区域（一）（整体方法） 184
3.非零区域（二）（局部方法） 186
习题 193
第十一章 素数定理 196
1.问题的提出和进展 196
2.（x）的表示式 199
3.素数定理 202
4.定理 205
习题 209
第十二章 Riemann的贡献 216
1.划时代的论文 216
2.Riemann猜想 219
3.Riemann猜想的推论及等价命题 222
习题 226
第十三章 Dirichlet特征 229
1.定义与基本性质 229
2.原特征 236
3.Gauss和 243
4.简单的特征和估计 247
习题 251
第十四章 L（s，x）的函数方程与基本性质 258
1.定义与最简单的性质 258
2.函数方程 260
3.最简单的阶估计 267
习题 270
第十五章 L（s，x）/L（s，x）的零点展开式 272
1.L（s，x）/L（s，x）的无穷乘积 272
2.L（s，x）/L（s，x）的零点展开式 273
3.非显然零点的简单性质 275
4.logL（s，x） 276
习题 277
第十六章 L（s，x）的非显然零点的个数 278
1.基本关系式 278
2.渐近公式 279
3.一点说明 280
习题 280
第十七章 L（s，x）的非零区域 281
1.非零区域（一） 281
2.Page定理 295
3.Siegel定理 299
4.非零区域（二） 303
习题 304
第十八章 算术数列中的素数定理 307
1.（x，y）的表示式 307
2，算术数列中的素数定理 313
习题 317
第十九章 线性素变数三角和估计 319
1.Bxaorpaaob方法 320
2.Vaughan方法 327
3.零点密度方法 332
4 .复变积分法 337
5.小q情形的估计 344
习题 347
第二十章 Goldbach猜想 353
1.Goldbach问题中的圆法 354
2.三素数定理（非实效方法） 358
3.三素数定理（实效方法） 364
4.Goldbach数 368
习题 376
第二十一章 Weyl指数和估计（一）（van der Corput方法） 379
1.基本关系式 380
2.基本估计式 387
3.基本不等式 390
4.Weyl和估计 393
5.反转公式 395
6.指数对理论 403
习题 410
第二十二章 Weyl指数和估计（二）（BHHorpaAoB方法） 412
1.指数和的均值估计 412
2.Weyl和估计（a） 424
3.Weyl和估计（b） 428
习题 435
第二十三章 （s）与L（s，x）的渐近公式 442
1.（s，a）的渐近公式（一）442
2.L（s，x）的渐近公式.447
3.（s，a）的渐近公式（二） 452
4.（s，a）的渐近公式（三）461
5.另一种类型的渐近公式 472
习题 475
第二十四章 （s）与L（s，x）的阶估计 477
1.（ s，a）的阶估计 477
2.L（s，x）的阶估计 485
习题 491
第二十五章 （s）与L（s，x）的积分均值定理 492
1.（ s，a）的二次积分均值定理（一） 493
2.（ s，a）的二次积分均值定理（二） 502
3.L（s，x）的二次积分均值定理 509
4.（s）的四次积分均值定理 512
习题 520
第二十六章Waring 问题 522
1.Waring 问题中的圆法 525
2.基本区间上的积分的渐近公式 526
3.完整三角和估计 531
4.奇异级数 536
5.奇异积分 541
6.余区间上的积分的估计 542
7.解数的渐近公式 543
8.G（k）的上界估计的改进 544
习题 548
第二十七章 Dirichlet除数问题 558
1.问题与研究方法 558
2.第一种方法 561
3.第二种方法 568
习题 573
第二十八章 大筛法 577
1.大筛法的分析形式 578
2.Gallagher方法 579
3.M01原理的应用（一） 582
4.对偶原理的应用（二） 590
5.大筛法的算术形式 600
6.Brun-Titchm arsh定理的改进 607
习题 615
第二十九章D irichlet多项式的均值估计 621
1.大筛法型的特征和估计 621
2.Dirichlet多项式的混合型均值估计 629
3.（s）与L（s ，x）的四次均值估计 636
4.Halasz方法 643
习题 650
第三十章 零点分布（一） 652
1.方法概述 653
2.零点密度定理 660
3.零点密度定理的改进 665
4.函数的零点密度定理的进一步改进 668
5.小区间中的素数分布 673
习题 677
第三十一章 算术数列中素数的平均分布 678
1.问题的转化 679
2.第一个证明（零点密度方法） 683
3.第二个证明（复变积分法）685
4.第三个证明（Vaughan方法）690
习题 696
第三十二章 筛法 698
1.基本知识 698
2.组合筛法的基本原理 710
3.最简单的Brun筛法 716
4.Brun筛法 722
5.Rosser筛法 732
6.Selberg上界筛法765
习题 787
第三十三章 零点分布（二） 801
1.一个渐近公式 802
2.JAHIHHK零点密度定理 819
3.Deuring-Heilbronn现象 842
第三十四章 算术数列中的最小素数 856
1.问题的转化 857
2.定理的证明 860
第三十五章Dedekindn函数867
1.函数方程（一） 867
2.Dedekind和 874
3.函数G（z，s） 879
4.函数方程（二） 887
习题 890
第三十六章 无分拆函数 892
1.无分拆函数p（n） 892
2.p（n）的上界及下界估计 896
3.p（n）的渐近公式 900
4.p（n）的级数展开式 907
参考书目 913