有限元方法的数学理论

本书试图用较少的篇幅描述有限元方法较完整的数学基础。其主要内容包括：椭圆边值问题的变分问题、Sobolev空间概要、有限元离散化、协调有限元的误差分析、数值积分的影响、非协调有限元、混合有限元方法等。本书内容丰富、深入浅出，尽可能地用初等方法来阐述一些理论结果。本书可作为高等院校计算数学、应用数学专业研究生及重点院校高年级本科生的教材使用，也可作为有兴趣于有限元方法的数学理论方面的教师和工程师的参考资料。

《大学数学科学丛书》序
前言
符号说明
第1章有限元方法的简单回顾
1．1变分问题
1．2Galerkin逼近
1．2．1Galerkin逼近
1．2．2误差分析
思考题
第2章椭圆边值问题的变分问题
2．1抽象的变分问题
2．2Lax-Milgram定理
2．2．1对称情形
2．2．2非对称情形
2．3若干例子
2．3．1Green公式
2．3．2若干例子
思考题
第3章Sobolev空间概要
3．1Lp（Ω）空间
3．2广义导数（微商）
3．3磨光算子、均值逼近与单位分解
3．3．1磨光算子
3．3．2均值逼近定理
3．3．3单位分解
3．4Sobolev空间
3．5Sobolev空间嵌入定理
3．6等价范数
3．7商空间
思考题
第4章有限元离散化
4．1有限元离散化
4．2二维情形
4．2．1三角形单元
4．2．2矩形单元
4．3有限元方法的计算流程
4．4预处理共轭梯度法
思考题
第5章协调有限元的误差分析
5．1引言
5．2Sobolev空间中的分片多项式插值
5．2．1仿射等价元之间范数的关系
5．2．2单元插值误差估计
5．3多边形区域上二阶问题的误差分析
5．3．1先验误差估计
5．3．2L2-模与负模估计
5．3．3非光滑解的收敛性
5．4逆不等式
5．4．1单元上的逆不等式
5．4．2逆不等式
5．4．3Hs（Ω）模估计
5．4．4优选模估计
5．5非光滑函数的插值
5．5．1有限元空间
5．5．2Clement插值
5．6Nitsche权模方法
5．6．1权模定义与权函数关系式
5．6．2加权插值逼近定理
5．6．3优选模估计
5．7抛物型方程有限元解的误差估计
5．7．1半离散化解的L2-模与梯度估计
5．7．2全离散化解的误差估计
思考题
第6章数值积分的影响
6．1有限元方法中的数值积分
6．1．1三角形单元上的一次精度求积公式
6．1．2三角形单元上的二次精度求积公式
6．1．3三角形单元上的三次精度求积公式
6．1．4三角形单元上带导数的三次精度求积公式
6．1．5矩形单元上的数值积分
6．2数值积分下的抽象误差估计
6．3相容误差估计
思考题
第7章非协调有限元
7．1抽象的误差估计
7．2二阶问题的非协调元
7．2．1Crouzeix-Raviart三角形元（C-R元）
7．2．2Wilson矩形元
7．3四阶问题的非协调元
思考题
第8章混合有限元方法
8．1混合变分问题之例
8．2抽象的连续混合变分问题
8．2．1混合变分问题
8．2．2推广Lax-Milgram定理
8．2．3LBB条件
8．3离散化逼近
8．4两个应用实例
8．4．1Poisson方程边值问题的混合有限元方法
8．4．2Stokes问题的混合有限元方法
思考题
参考文献
索引