微分方程的李群方法

本书主要讨论经典李群方法在微分方程中的应用，内容涵盖了微分方程的李群方法的一些近期新研究成果。除绪论外，全书共6章，基本内容包括与李群方法相关的基本概念、多种类型微分方程的李群分析、偏微分方程守恒向量的构造和准确解的求解，以及李群方法的其他应用。本书系统性强，各章节自成体系又相互联系。在内容叙述和安排上，尽量采用通俗易懂的语言，详略得当，论证详尽，便于读者全面了解和掌握相关内容。本书可供数学物理及工程领域从事非线性科学相关研究的高年级本科生、研究生、教师阅读和参考，也可作为从事微分方程应用及模拟的科技人员的理论参考书。

《现代数学基础丛书》序
前言
绪论 1
0.1 李群方法的基本介绍 1
0.2 李群方法的基本作用 3
第 1 章 李群的基本概念与基本理论 4
1.1 李群的基本概念 4
1.1.1 李群的定义 4
1.1.2 无穷小变换 6
1.1.3 李第一基本定理与无穷小生成元 7
1.1.4 正则坐标 14
1.2 微分方程延拓的无穷小生成元 16
1.2.1 常微分方程情形 16
1.2.2 偏微分方程情形 21
1.3 微分方程的不变解与不变性准则 32
1.3.1 微分方程的不变解 33
1.3.2 常微分方程的不变性准则 33
1.3.3 偏微分方程的不变性准则 36
1.4 李第二、第三基本定理与李代数 40
第 2 章 整数阶微分方程的不变解与准确解 44
2.1 常微分方程在正则坐标下的准确解 44
2.1.1 一阶常微分方程情形 44
2.1.2 二阶常微分方程情形 46
2.2 几类偏微分方程的不变解与准确解 52
2.2.1 (1+1)维热方程情形 52
2.2.2 组合KdV-mKdV方程情形 55
2.2.3 (3+1)维Yu-Toda-Sasa-Fukuyama方程情形 60
2.2.4 广义Kaup-Boussinesq方程组情形 65
2.2.5 非线性广义Zakharov方程组情形 71
第 3 章 分数阶微分方程的李群理论 77
3.1 Riemann-Liouville分数阶导数的基本概念 77
3.1.1 特殊函数 77
3.1.2 Riemann-Liouville分数阶导数的定义和性质 78
3.2 几类分数阶微分方程的不变性准则 79
3.2.1 分数阶常微分方程情形 79
3.2.2 时间分数阶偏微分方程情形 84
3.2.3 时间分数阶偏微分方程组情形 91
3.3 几类分数阶微分方程的李群分析 93
3.3.1 分数阶Riccati方程情形 93
3.3.2 线性时间分数阶变系数偏微分方程情形 95
3.3.3 非线性时间分数阶对流扩散方程情形 99
3.3.4 非线性时间分数阶反应对流扩散方程情形 103
3.3.5 时间分数阶耦合It^o方程组的不变解 111
第 4 章 偏微分方程守恒向量的构造 115
4.1 整数阶偏微分方程的共轭性概念与守恒向量定理 115
4.1.1 共轭性概念 115
4.1.2 守恒向量定理 117
4.2 两类整数阶非线性偏微分方程的守恒向量构造 121
4.2.1 拓展的(2+1)维量子Zakharov-Kuznetsov方程情形 121
4.2.2 变系数Davey-Stewartson方程组情形 124
4.3 时间分数阶偏微分方程的共轭性概念与守恒向量定理 130
4.3.1 共轭性概念 131
4.3.2 守恒向量定理 133
4.4 几类时间分数阶偏微分方程的守恒向量构造 134
4.4.1 时间分数阶耦合It^o方程组情形 134
4.4.2 时间分数阶变系数耦合 Burgers方程组情形 136
4.4.3 时间分数阶广义Hirota-Satsuma耦合KdV方程组情形 138
4.4.4 时间分数阶耦合Hirota方程组情形140
第 5 章 偏微分方程基于守恒向量的准确解求解 145
5.1 具有外部源的各向异性非线性扩散方程的准确解 145
5.1.1 非线性自共轭 145
5.1.2 守恒向量约化 148
5.1.3 稳态及非稳态准确解求解 152
5.1.4 修正守恒律下的准确解 157
5.2 具有外部源的各向异性波动方程的准确解 158
5.2.1 非线性自共轭 158
5.2.2 守恒向量约化 161
5.2.3 三角函数型准确解求解 164
5.3 一类非线性色散演化方程组的准确解 165
5.3.1 非线性自共轭 166
5.3.2 守恒向量构造 167
5.3.3 准确解求解 169
第 6 章 李群方法的其他应用 172
6.1 双平方根利率期限结构方程的李群分析 172
6.1.1 无穷小生成元 173
6.1.2 不变解求解 173
6.2 Novikov方程基于不变解的单尖峰孤子解 177
6.2.1 方程的李群分析 177
6.2.2 单尖峰孤子解 179
6.3 分数阶微分-积分方程的李群分析 182
6.3.1 不变性准则 182
6.3.2 无穷小生成元 185
6.3.3 基于核函数和自由项的李群分析 188
参考文献 191
附录 196
附录A 无穷小生成元的Maple实现 196
A.1 组合KdV-mKdV方程情形 196
A.2 非线性广义Zakharov方程组情形 196
附录B Bernoulli型辅助方程法 197
附录C tanh函数型辅助方程法 198
附录D 分数阶无穷小生成元相关推导 199
《现代数学基础丛书》己出版书目 203