数学分析 第1册

本书讲述的是高等数学的基础内容——数学分析，其核心内容是微积分学，全书共三册。本书为第一册，共分六章，包括函数、极限论、连续函数、微分学（一）：导数与微分、微分学（二）：微分中值定理与Taylor公式、微分的逆运算——不定积分。本书是由作者在北京大学数学科学学院多年教学所使用的讲义基础上修改而成，内容丰富、深入浅出。对较难理解的定理、定义以及可深人探讨的问题，本书以加注的形式予以解说，以利于读者更好地接受新知识。在章末附有后记，意在为读者更清楚地了解知识背景，更迅速地提高数学能力创造条件。本书选用适量有代表性、启发性的例题，还选入足够数量的习题和思考题。习题和思考题中，既有一般难度的题目，也有较难的题目，供读者酌情选做。本书可作为大学本科阶段的数学、概率统计、应用数学、力学以及计算机等相关专业的教科书，也可作为广大数学工作及爱好者的参考书。

前言
致读者
绪论1
0.1微积分起源简介1
0.218世纪微积分在应用方面的成就举例2
0.3微积分的名称来源2
第1章函数4
1.1变量4
1.2函数概念6
1.2.1函数的定义6
1.2.2构成函数的各种途径7
1.3函数图形的整体特征分类简介15
1.4初等函数21
后记23
第2章极限论28
2.1实数连续性公理简介28
2.2有界数集与确界30
2.2.1有界数集30
2.2.2有界数集的确界31
2.3数列极限34
2.3.1数列及其极限命题的提出34
2.3.2数列的极限概念35
2.3.3收敛数列的性质40
2.3.4数列及其子列46
2.3.5单调有界数列的极限48
2.4实数连续统的基本定理55
2.4.1闭区间套序列、有限子覆盖55
2.4.2聚点原理与Cauchy收敛准则58
2.5数列的上极限、下极限62
2.5.1数列的上、下极限概念62
2.5.2数列上、下极限的运算公式66
2.6函数极限71
2.6.1函数的有界性概念71
2.6.2函数的极限概念74
2.6.3函数极限的基本性质77
2.6.4两个典型极限83
2.6.5判别函数极限存在的Cauchy准则86
2.7无穷大量、渐近线90
2.7.1无穷大连续变量90
2.7.2渐近线92
2.7.3无穷大整序变量93
2.8无穷大(小)量的量阶表示94
2.8.1符号“O"与"o"的意义95
2.8.2渐近相等97
后记102
第3章连续函数113
3.1函数的连续性114
3.1.1函数在一点连续的概念114
3.1.2函数在一点左、右连续的概念116
3.1.3函数在连续点处的局部性质118
3.2多个函数连续性之间的运算关系，初等函数的连续性118
3.3函数间断点的分类122
3.4闭区间上连续函数的重要性质124
3.4.1有界性、*值性124
3.4.2介值(中值)性127
3.4.3一致连续性130
后记134
第4章微分学(一）：导数与微分138
4.1函数的导数概念138
4.1.1即时速度与切线斜率138
4.1.2导数的定义及其记法140
4.1.3左、右导数的概念144
4.1.4函数的可导性与连续性146
4.1.5导数与变化率149
4.2求导运算法则150
4.2.1四则运算150
……