大学生理工专题导读——数值方法

本书以培养读者的洞察力和实验技巧为目标，以平实的语言，对数值方法进行了全面而简洁的介绍。内容不但涵盖曲线拟合、常微分方程和偏微分方程的数值解等经典的数值方法，还包括了前沿的质点网格法和蒙特卡罗法等，使得读者可以在短时间内对数值分析的若干种方法有所了解。其中大部分章节提供了例子的详解和有针对性的习题，以供读者巩固理论知识。
本书适用于对数学、物理或者工程感兴趣的高年级本科生和低年级研究生，是自学或者补充阅读的良好选择。

导读
译者序
前言
第1章数据的曲线拟合1
1.1准确拟合1
1.1.1引言1
1.1.2准确拟合的线性表示1
1.1.3系数求解2
1.2近似拟合3
1.2.1线性最小二乘4
1.2.2奇异值分解（SVD）和Moore-Penrose广义逆4
1.2.3光滑化和正规化8
1.3断层图像还原9
1.4效率和非线性12
1.5习题1数据拟合14
第2章常微分方程16
2.1降为一阶方程16
2.2初值问题的数值积分18
2.2.1显式积分18
2.2.2准确性和龙格-库塔算法20
2.2.3稳定性23
2.3多维刚性方程：隐式算法25
2.4蛙跳算法26
2.5习题2对常微分方程求积分29
第3章两点边值条件31
3.1两点问题的例子31
3.2打靶法33
3.2.1两点问题的初值迭代法33
3.2.2对分法34
3.3直接解36
3.3.1二阶有限差分36
3.3.2边值条件38
3.4守恒差分格式与有限体积41
3.5习题3求解两点常微分方程45
第4章偏微分方程47
4.1偏微分方程的例子47
4.1.1流体47
4.1.2扩散50
4.1.3波动方程50
4.1.4电磁方程50
4.2偏微分方程的分类51
4.3偏微分算子的有限差分53
4.4习题4偏微分方程58
第5章扩散方程和抛物型方程60
5.1扩散方程60
5.2时间推进的选择和稳定性61
5.2.1时间向前、空间中间61
5.2.2时间向后、空间中间、隐式算法63
5.2.3半隐式克兰克-尼科尔森算法64
5.3隐式推进矩阵法64
5.4多维空间66
5.5计算成本估计68
5.6习题5扩散方程和抛物型方程71
第6章椭圆型问题和迭代矩阵解73
6.1椭圆型方程和矩阵求逆73
6.2收敛速度75
6.3逐次超松弛法（SOR法）77
6.4迭代和非线性方程79
6.4.1线性化79
6.4.2结合线性和非线性迭代80
6.5习题6矩阵问题的迭代解84
第7章流体力学和双曲型方程86
7.1流体动量方程86
7.2双曲型方程89
7.3有限差分和稳定性91
7.3.1FTCS法的不稳定性93
7.3.2Lax-Friedrichs算法和CLF条件94
7.3.3Lax-Wendroff算法的二阶准确94
7.4习题7流体和双曲型方程99
第8章玻尔兹曼方程及其解100
8.1分布函数100
8.2相空间的粒子守恒103
8.3求解双曲型玻尔兹曼方程105
8.3.1沿轨道积分105
8.3.2轨道是特征线107
8.4碰撞项108
8.4.1自散射109
8.4.2非自散射109
8.5习题8玻尔兹曼方程114
第9章能量分辨扩散传输115
9.1中子碰撞115
9.2简化为多群扩散方程116
9.3多群方程的数值表达119
9.3.1群119
9.3.2稳态特征值121
9.4习题9分子传输126
第10章原子和质点网格（PIC）模拟128
10.1原子模拟128
10.1.1原子/分子力和势131
10.1.2计算要求133
10.2质点网格法135
10.2.1玻尔兹曼方程伪粒子表达137
10.2.2粒子的直接模拟蒙特卡罗方法138
10.2.3粒子边界条件140
10.3习题10原子模拟142
第11章蒙特卡罗方法144
11.1概率和统计144
11.1.1概率和概率分布144
11.1.2均值、方差、标准差和标准误差146
11.2计算的随机选择147
11.3通量积分和注入选择151
11.4习题11蒙特卡罗方法156
第12章蒙特卡罗放射输运158
12.1输运和碰撞158
12.1.1随机游走步长158
12.1.2碰撞种类和参数160
12.1.3迭代和新粒子161
12.2追踪、记账和统计不确定性162
12.3习题12蒙特卡罗统计168
第13章下一步170
13.1有限元法170
13.2离散傅里叶变换和谱方法175
13.3稀疏矩阵迭代Krylov解179
13.4流体进化算法185
13.4.1不可压缩流体和压强修正185
13.4.2非线性、冲击波、迎风和限流差分187
13.4.3湍流188
附录线性代数总结191
附录A向量和矩阵乘积191
附录B行列式193
附录C逆194
附录D特征分析195
参考文献197