现代概率论基础导论

本书是一本以介绍现代概率论基础理论和方法为主的概率论教材。共分三部分。第1章和第2章为测度论，用较短的篇幅完整地叙述了测度与积分的一般理论，包括了一般测度、Lebesgue-Stieltjes测度、Lebesgue测度、积分与期望的定义及单调收敛定理、Fatou引理、Lebesgue控制收敛定理、Fubini定理等主要的测度与积分结果。第3章和第4章为极限论，介绍了概率论和统计中的常用的分布、分布函数、特征函数和四种收敛性，并侧重于中心极限定理和各种大数定律及其证明。第5章为鞅论，从经典条件概率出发引入一般条件期望的定义，利用广义的Radon-Nikodym定理证明了其存在性，以Markov链作为其应用，介绍了以条件期望为基础的鞅的基本概念和结果。本书可作为研究生高等概率论课程教材以及数学系高年级本科生的学习参考书或选修课教材，也可作为统计学和应用数学研究的工具书。

前言
第1章 可测空间
1.1 集合及其运算律
1.2 半代数、代数和σ-代数
1.3 单调类定理
1.4 乘积可测空间
1.5 随机变量
1.5.1 映射
1.5.2 可测映射
1.5.3 一维随机变量
1.5.4 多维随机变量
习题1
第2章 测度空间上的积分
2.1 测度的定义及性质
2.2 从半代数到代数上的测度扩张
2.3 完备测度空间
2.4 从代数到σ-代数的概率测度扩张和构造
2.5 分布函数及其导出测度
2.6 积分的定义及其性质
2.6.1 积分及有限收敛定理
2.6.2 Fubini定理
2.7 随机变量的数学期望
习题2
第3章 特征函数与弱收敛
3.1 特征函数
3.2 弱收敛
3.3 四种收敛性
习题3
第4章 极限定理
4.1 独立性与卷积运算
4.2 大数定律与强大数定律
4.2.1 大数定律
4.2.2 Kolmogrov不等式
4.2.3 强大数定律
4.2.4 大数定律的应用——Monte-Carlo方法
4.3 中心极限定理
4.3.1 独立同分布随机变量列的中心极限定理
4.3.2 独立随机变量列的中心极限定理
4.4 重对数定理
习题4
第5章 条件期望与鞅论
5.1 经典条件概率与条件数学期望的演变
5.2 给定σ-代数之下条件期望与条件概率
5.3 离散参数鞅序列的定义与性质
5.4 鞅收敛定理
5.5 Doob鞅分解定理与Doob可选停时定理
5.5.1 Doob鞅分解定理
5.5.2 停时
5.5.3 Doob可选停时定理
5.5.4 鞅变换与期权定价
5.6 连续参数鞅
5.7 Markov链
5.7.1 转移概率
5.7.2 例子
5.7.3 遍历性
5.7.4 连续参数Markov链
习题5
参考文献
附录A 在保险精算中的应用
A.1 条件期望在保险精算中的应用
A.2 Markov链在保险精算中的应用
参考文献
附录B 在信用联结票据中的应用——用Markov链方法对含交易对手风险的一篮子参考资产的信用联结票据定价
B.1 引言
B.2 Markov链模型
B.3 含交易对手信用风险的一篮子参考资产的首次违约的CLN定价
B.4 含交易对手信用风险的一篮子参考资产的第i次违约的CLN定价
参考文献