线性代数——数学物理方法基础

本教材的内容是物理学各专业必修的数学基础课。开设这门课是为了让学生掌握线性代数的基本知识和基本方法，提高抽象思维能力，逻辑推理能力以及实际应用能力。作为与传统工科线性代数课程的区别，除行列式、矩阵、线性方程组外，加强了抽象的线性空间和线性映射这部分核心内容。教材给出了全部定理的证明，便于学生理解其含义，了解各个定理间的逻辑结构，以搭建起学科的整体框架。并且零星地介绍了一些现代数学的思想。

本书主要内容为线性代数，包括行列式、矩阵、线性方程组、线性空间、线性变换、内积空间、二次型与厄米型，以及变分法。在保持数学教材应有的逻辑严密性的同时，本书较多地照顾了物理学的专业特点，在概念的引入、内容的组织、例题的选用，以及术语和习惯等方面，带有明显的物理特色，并尽量做到与物理学专业的后续课程相衔接。在阐述过程中，遵循由具体到抽象的原则，力图通俗易懂。本书适合作为综合性大学物理专业的线性代数教材，也可作为各大专科院校师生的教学参考书。

第1章行列式
1.1二阶与三阶行列式
1.1.1二元线性方程组与二阶行列式
1.1.2三阶行列式
1.2排列和置换
1.3n阶行列式的定义
1.4行列式的性质
1.5行列式按行(列)的展开
1.6行列式的计算举例
1.7克拉默法则
第2章矩阵
2.1矩阵的定义及运算
2.1.1矩阵的概念
2.1.2矩阵的线性运算
2.1.3矩阵的乘法
2.1.4矩阵的转置
2.1.5方阵的行列式和迹
2.2可逆矩阵
2.3分块矩阵
2.4矩阵的初等变换
2.4.1初等变换、初等矩阵
2.4.2行标准型
2.4.3等价、标准型
2.5矩阵的秩
2.5.1秩的定义
2.5.2秩与初等变换
2.5.3矩阵秩的一些不等式
第3章线性空间
3.1引言
3.1.1代数和线性代数
3.1.2集合论简介
3.1.3常见代数系统简介
3.2线性空间的定义和例子
3.3子空间
3.4向量组的线性无关性
3.4.1线性组合
3.4.2向量组的等价
3.4.3线性相关性
3.4.4极大无关组、秩
3.5n元向量组与矩阵的关系
3.6线性空间的基、维数、坐标
3.6.1基和坐标
3.6.2子空间的直和
3.6.3坐标变换
3.6.4线性空间的同构
第4章线性方程组
4.1线性方程组的基本概念和高斯消元法
4.2线性方程组解的结构
第5章线性变换
5.1线性映射
5.1.1线性映射的定义和基本性质
5.1.2线性映射的运算
5.1.3线性泛函和对偶空间
5.1.4线性变换
5.1.5代数、线性变换代数
5.2线性变换的矩阵表示
5.2.1矩阵表示
5.2.2矩阵表示的变换、相似矩阵
5.3本征值、本征向量
5.4矩阵的相似对角化
5.4.1相似对角化
5.4.2不变子空间
5.4.3同时对角化
5.4.4Jordan标准型简介
第6章内积空间
6.1实内积、欧空间
6.1.1内积的定义
6.1.2度规
6.1.3模、夹角
6.1.4正交、标准正交基
6.1.5一些常见的“空间”简介”
6.2标准正交基的存在性
6.2.1Schmidt标准正交化方法
6.2.2正交补空间
6.2.3最小二乘法”
6.3正交矩阵和正交变换
6.3.1正交矩阵
6.3.2正交矩阵与标准正交基的关系
6.3.3正交变换
6.4对称变换和实对称矩阵
6.4.1对称变换
6.4.2实对称矩阵本征值和本征向量的性质
6.5幺正空间
6.5.1复内积、么正空间
6.5.2度规矩阵
6.5.3模、正交、标准正交基
6.5.4Schmidt标准正交化方法
6.5.5正交补空间
6.5.6厄米共轭
6.5.7么正矩阵和么正变换
6.5.8厄米矩阵和厄米变换
6.5.9厄米矩阵与么正矩阵的联系
6.5.10正规矩阵和正规变换
第7章二次型和厄米型
7.1二次型的定义和标准型
7.1.1二次型的定义
7.1.2线性替换
7.1.3二次型的标准型
7.2二次型的规范型和惯性定理
7.2.1二次型的规范型
7.2.2惯性定理
7.3二次型的正定性
7.3.1正定二次型的定义
7.3.2正定的一些充要条件
7.3.3负定、准正定、准负定
7.4厄米型
7.4.1厄米型的定义和等价
7.4.2n元厄米型可化为2n元二次型
7.4.3厄米型的标准型和规范型
7.4.4惯性定理
7.4.5厄米型的正定性
7.4.6矩阵的奇异值分解”
7.4.7复对称矩阵的奇异值分解”
7.5本征值问题的极值性
7.5.1本征值问题的极值性
7.5.2极大-极小值原理
7.5.3一般性结论
7.5.4本征向量组的完备性”
第8章变分学
8.1引言
8.2Euler变分方程
8.2.1变分学的基本问题
8.2.2Euler表达式恒等于零的情形
8.2.3Euler方程的形式不变性
8.2.4形式标记——变分导数
8.2.5含有高阶导数的情形
8.2.6含有多个自变函数的情形
8.2.7含有多个自变量的情形
8.3非固定边界条件问题
8.3.1自由边界条件
8.3.2横交条件(约束端点问题)
8.4条件极值问题
8.4.1函数的条件极值问题——Lagrange乘子法
8.4.2测地线问题：泛函的Lagrange乘函法
8.4.3等周问题：泛函的Lagrange乘子法
8.5物理学中的变分原理
参考文献