一 数学是什么
这里所要说明的“数学”这一个词，包含着算术、代数、几何、三角等在内。用英文名词来说，那就是Mathematics。它的定义，照平常的想法，非常简单、明了，几乎已用不到再加说明。但真要说明，那问题却又有很多。且先举罗素（Russell），在他所著的《数理哲学》提出的定义，真是叫人莫名其妙，好像在开玩笑一样。他说：
“Mathematics is the subject in which we never know what we are talking about nor whether what we are saying is true。”
将这句话很粗疏地译出来，就是：
“数学是这样一回事，研究它这种玩意儿的人也不知道自己究竟在干些什么。”
这样的定义，既惝恍迷离，又神奇莫测，真是“不说还明白，一说反糊涂”。然而，若要将已经发展到现在的数学的领域概括得接近，要将它繁复、灿烂的内容表示得活跃，好像除了这样也没有其他更好的话可说了。所以伯比里慈（Papperitz）、伊特耳生（Itelson）和路易？古度拉特（LouisCouturat）几位先生对于数学所下的定义也是和这个大体相似。
对于一般的读者，这定义，恐怕反而使大家坠入迷雾中，因此，“拨云雾见青天”的工作似乎是少不了的。罗素所下的定义，它的价值在什么地方呢？它所指示的是什么呢？要回答这些问题，还是用数学的其他定义来相比较更容易明白。
在希腊，亚里士多德（Aristotle）那个时代，不用说，数学的发展还很幼稚，领域也极狭小，所以数学的定义只需说它是一种“计量的科学”，已很可使人心满意足了。可不是吗？这个定义，对于初学数学的人是极容易明白而且能够满足的。他们解四则问题、学复名数的计算，再进到比例、利息，无一件不是在计算量。就是学到代数、几何、三角，也还不容易发现这个定义的破绽。然而仔细一想，它实在有些不妥帖。第一，什么叫作“量”。虽然我们可以用一般的知识来解释，但真要将它的内涵说明白，也不容易。因此，当用它来解释其他名词时，依然不能将那名词的概念明了地阐述出来。第二，就是用一般的知识来解释“量”，所谓“计量的科学”这个谓语也不能够明确地划定数学的领域。例如测量、统计这些学科，虽然它们有各自特殊的目的，但也只是一种计量。总的来讲，仅仅用“计算的科学”这一个谓语联系到数学而形成一个数学的定义，未免过于广泛了。若进一步去探究，这个定义欠缺的还不止这两点，所以孔德（Comte）就将它加以修改为：“数学是间接测量的科学。”照前面的定义，数学是计量的科学，那么必定要有“量”才有可计算的，但它所计的“量”是通过什么方式得来的呢？用一把尺子就可以量一块布有几尺几寸宽、几丈几尺长；用一杆秤就可以量一袋米有几斤几两重，这些都是可以直接办到的。但若要测量行星轨道的广狭、行星的体积，或是很小的分子的体积，这些就不是依靠人力所能直接测定的，但用数学的方法都可以间接将它们计算出来。因此，孔德所下的这个定义，虽然不能将前一个定义的缺陷接近补正，但总是较进一步了。
孔德毕竟是十九世纪前半期的人物，虽然他是一位的哲学家和数学家，但在他的时代，数学的领域远不及现在广阔，如群论、位置解析、投影几何、数论以及逻辑的代数等，这些数学的支流的发展，都是他以后的事。而这些支流与量或测量实在没什么关系。即如笛沙格（Desargues）所证明的一个极具趣味的定理：“两个三角形的顶点若在集交于一点的三条直线上，则它们的相应边的交点就在一条直线上。”
P1-3（《数学趣味》）
