数学鉴赏

数学是人类思维的科学，它伴随着人类在生产生活中的思维活动而产生。中国古代数学一直具有悠久的传统。在古代四大文明中，中国数学持续繁荣时期最为长久。从公元元年前后至公元14世纪，中国古典数学先后经历了三次发展高潮，即两汉时期、魏晋南北朝时期和宋元时期，并在宋元时期达到很好。以《九章算术》为代表的中国传统数学思想方法，同以《几何原本》为代表的古希腊数学思想方法异其旨趣，各有千秋，在世界数学发展的历史长河中，此消彼长。 今天，数学飞速发展，数字化已深入到了人类几乎所有的活动，人类历史进入了一个崭新的信息时代。现代文明已经深深打上了数学的烙印。例如银行交易系统、定位系统、大数据云计算等等，诸如这样的例子举不胜举。 这本《数学鉴赏》揭示了数学的发展、数学对其他学科的影响，展示了数学的工具性。人们常以“冰山”作比喻，在水面之下是纯数学领域，隐藏于公众视野之外。水面之上的尖点，则是被我们称为应用数学的可见部分，应用于技术、物理、自然科学、天文学、计算机等各方面。 全书共有九章，让读者在鉴赏数学之余深切地感受到数学之源、数学之趣、数学之美、数学之力。

《数学鉴赏》课程要培养学生运用数学去分析、解决问题的能力，这种能力不仅表现在对数学知识的记忆，更主要的是掌握数学的思维推理方法。特别地，对人文类学习者而言本课程也能培养其理性思维能力，使得思考诸多问题时更加严谨全面。数学是观察世界的一种方式，这种方式有助于准确地理解世界的每个方面。本书是《数学鉴赏》课程配套用书，是课程精华的浓缩，阐述了一些重要数学思想的来源及发展，也指出了我国数学成就及其对数学发展的影响，希望本书及课程，能够帮助学生理解数学的思想、精神和方法，感受到数学在推动人类文明进程中的作用；能够提高学生对数学的兴趣，培养数学素养，让他们终身受益。

第1章数学中的伟大思想
1.1证明的思想
证明的起源
毕达哥拉斯定理和三元组
数学的证明和科学的证明
数学猜想
1.2反证的思想
反证的起源
反证思想的有名例子
1.3万物皆数
音乐的和声
弯曲的河道
直角三角形
1.4抽象的思想
抽象的含义
抽象的层次性
数学抽象的特殊性
数学抽象的形式
数学抽象的过程
1.5完备性的思想
公理化方法
希尔伯特计划
德尔的不接近性定理
“补救”数学
第2章数系漫谈
2.1数的起源：从具体到抽象的飞跃
最早的计数方法
巴比伦人和埃及人
吠陀雅利安人
零的出现
各种进制
2.2素数：数学世界中的原子
素数的基本性质
素数的判断
素数有无穷多个
素数定理
哥德巴赫猜想
素数的应用领域
2.3实数、无理数、超越数：数学中“奇怪”的数
负数
分数
无理数
超越数
如DNA般的连分数
几何作图三大不能问题
2.4虚数、复数：数学中“虚幻”的数
虚数
复数
四元数
克利福德代数
2.5无穷有多大？：集合论与无穷的变革
无法获得的无穷与“没有边界的”世界
集合论
集合之间的关系
希尔伯特旅店
不可列的集合
无穷的阶与连续统假设
大批的无穷
第3章数学意境与人文意境
3.1数学与文学
数学与文学的共性
数学遇见文学创造的浪漫气息
诗样的数学题
文学意境与数学意境
能诗善文的数学家
3.2数学自身的对称、和谐美
数学具有对称美
数学概念和定理中的对称
数学公式中的对称
几何中的对称
数学具有和谐美
数学发展的和谐
数学公式和算式中的和谐
第4章Google与大数据
4.1Google
布尔代数和搜索引擎
图论和网络爬虫
PageRank——Google的民主表决式网页排名技术
简单的PageRank算法
4.2大数据
数据的重要性
数据的统计和信息技术
大数据会给我们带来什么
第5章数学有用
5.1数学的价值
5.2数学的应用
数学在音乐艺术中的应用
数学在绘画艺术中的应用
数学在会计中的应用
数学在汽车工程中的应用
数学在机电一体化中的应用
数学的无限可能
总结
第6章中国数学成就
6.1在算术上的成就
记数法、十进位值制及二进位法
分数
十进小数、度量衡
负数
比例
近似计算
初等数论
珠算盘
6.2在代数学上的成就
方程
天元术
四元术
一次同余式
盈不足术
杨辉三角
级数与堆垛
微积分思想的萌芽
6.3在几何学上的成就
勾股定理及其应用
相似三角形
圆周率的计算
面积与体积
球体积
三角学
6.4现代数学中的成就
数论
微分几何学
微分方程
概率论
函数论
近世代数学
拓扑学
数学机械化
第7章战争中的数学——密码学
7.1山本五十六之死
人物背景简介
山本五十六被袭事件
事件后续
7.2密码与军事活动
密码在军事活动中的起源
第一次世界大战中的密码故事
第二次世界大战中的密码故事
信息时代的密码学
7.3密码
密码的背景
密码的由来
密码的组成
几种有名的密码
7.4密码学
密码学的内涵
密码学的历史演变
密码学与数学
信息论与公开密钥
RSA体制的理论及应用举例
密码学将继续发展
第8章生活中的数学
8.1彩虹
因折射而弯曲
捕捉彩虹光
色彩锥
副彩虹（霓）的散射角
8.2拉东变换和CT技术
拉东简介
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