矩阵论

本书较全面、系统地介绍了矩阵理论的基本理论、方法和某些应用，全书共10章，分别介绍了线性空间与内积空间、线性映射与线性变换、λ矩阵与矩阵的Jordan标准形、初等矩阵与矩阵因子分解、Hermite矩阵与正定矩阵、范数理论与扰动分析、矩阵函数与矩阵值函数、广义逆矩阵与线性方程组、Kronecker积与线性矩阵方程、非负矩阵与M矩阵等内容，该书内容丰富、论述严谨．各章后面配有一定数量的习题，有利于读者学习和巩固。本书可作为理工科院校硕士研究生和高年级本科生的教材，也可作为有关专业的教师和工程技术人员的参考书。

第一章线性空间与内积空间1
1.1预备知识:集合、映射与数域1
1.1.1集合及其运算1
1.1.2二元关系与等价关系2
1.1.3映射3
1.1.4数域与代数运算6
1.2线性空间7
1.2.1线性空间及其基本性质7
1.2.2向量的线性相关性9
1.2.3线性空间的维数12
1.3基与坐标13
1.4线性子空间17
1.4.1线性子空间的概念17
1.4.2子空间的交与和20
1.4.3子空间的直和23
1.5线性空间的同构24
1.6内积空间27
1.6.1内积空间及其基本性质27
1.6.2标准正交基与Gram-Schmidt正交化方法32
1.6.3正交补与投影定理35
习题41
第二章线性映射与线性变换45
2.1线性映射及其矩阵表示45
2.1.1线性映射的定义及其性质45
2.1.2线性映射的运算48
2.1.3线性映射的矩阵表示50
2.2线性映射的值域与核55
2.3线性变换57
2.4特征值和特征向量60
2.5矩阵的相似对角形68
2.6线性变换的不变子空间70
2.7酉(正交)变换与酉(正交)矩阵75
习题77
第三章λ矩阵与矩阵的Jordan标准形82
3.1—元多项式82
3.2λ矩阵及其在相抵下的标准形85
3.2.1λ矩阵的基本概念85
3.2.2λ矩阵的初等变换与相抵87
3.2.3λ矩阵在相抵下的标准形89
3.3λ矩阵的行列式因子和初等因子93
3.4矩阵相似的条件102
3.5矩阵的Jordan标准形104
3.6Cayley-Hamilton定理与最小多项式110
习题114
第四章矩阵的因子分解117
4.1初等矩阵117
4.1.1初等矩阵117
4.1.2初等下三角矩阵118
4.1.3Householder矩阵119
4.2满秩分解120
4.3三角分解125
4.4QR分解130
4.5Schur定理与正规矩阵133
4.6奇异值分解139
习题142
第五章Hermite矩阵与正定矩阵146
5.1Hermite矩阵与Hermite二次型146
5.1.1Hermite矩阵146
5.1.2矩阵的惯性147
5.1.3Hermite二次型149
5.2Hermite正定(非负定)矩阵151
5.3矩阵不等式159
5.4Hermite矩阵的特征值162
习题166
第六章范数与极限169
6.1向量范数169
6.2矩阵范数175
6.2.1基本概念175
6.2.2相容矩阵范数176
6.2.3算子范数177
6.3矩阵序列与矩阵级数182
6.3.1矩阵序列的极限183
6.3.2矩阵级数185
6.4矩阵扰动分析189
6.4.1矩阵逆的扰动分析190
6.4.2线性方程组解的扰动分析192
6.4.3矩阵特征值的扰动分析*193
习题198
第七章矩阵函数与矩阵值函数201
7.1矩阵函数201
7.1.1矩阵函数的幂级数表示201
7.1.2矩阵函数的另一种定义206
7.2矩阵值函数210
7.2.1矩阵值函数211
7.2.2矩阵值函数的分析运算212
7.3矩阵值函数在微分方程组中的应用217
7.4特征对的灵敏度分析*222
习题230
第八章广义逆矩阵233
8.1广义逆矩阵的概念233
8.2广义逆矩阵A与线性方程组的解234
8.3极小范数广义逆Am与线性方程组的极小范数解236
8.4最小二乘广义逆Al与矛盾方程组的最小二乘解239
8.5广义逆矩阵A+与线性方程组的极小最小二乘解242
习题246
第九章Kronecker积与线性矩阵方程248
9.1矩阵的Kronecker积248
9.2矩阵的拉直与线性矩阵方程252
9.2.1矩阵的拉直252
9.2.2线性矩阵方程253
9.3矩阵方程AXB=C与矩阵很好逼近问题254
9.3.1矩阵方程AXB=C254
9.3.2带约束的矩阵很好逼近问题256
9.4矩阵方程AX=B的Hermite解与矩阵很好逼近问题*258
9.5矩阵方程AX+XB=C和X—AXB=C*262
9.5.1矩阵方程AX+XB=C262
9.5.2矩阵方程X—AXB=C263
习题264
第十章非负矩阵*266
10.1肖巨负矩阵与正矩阵266
10.2素矩阵与不可约非负矩阵274
10.2.1素矩阵274
10.2.2不可约非负矩阵276
10.3随机矩阵278
10.4M矩阵282
习题287
参考文献289