黎曼流形优化及其应用

黎曼流形优化是近年来信息科学领域发展起来的一门新兴学科，是在黎曼流形上使用微分几何方法研究很优化问题，是很优化理论与方法的重要组成部分。本书分7章，分别总结了黎曼流形优化理论的内涵及其研究现状，介绍黎曼几何及其几何结构，论述基于收缩的黎曼流形优化理论与方法，介绍低秩流形收缩，阐述黎曼流形优化方法在鉴别性结构化字典学习中的应用，重点介绍黎曼流形优化方法在多源多波段图像融合中的应用，最后给出了黎曼流形优化方法在特征值问题中的应用。

《博士后文库》序言
前言
第1章 概论 1
1.1 黎曼流形优化理论的内涵 1
1.2 黎曼流形优化理论的研究现状 3
1.2.1 黎曼流形优化理论的发展历史 3
1.2.2 黎曼流形优化理论的相关应用 4
1.3 本章小结 10
第2章 黎曼流形优化的几何基础 11
2.1 光滑流形 11
2.2 切空间 13
2.3 流形之间的映射 15
2.4 嵌入子流形 17
2.5 商流形 17
2.5.1 李群作用下的商流形 18
2.5.2 齐性空间下的商流形 19
2.5.3 商流形的切空间 19
2.6 黎曼结构和梯度 20
2.6.1 黎曼子流形 22
2.6.2 黎曼商流形 23
2.7 仿射联络和黎曼 Hessian 24
2.7.1 黎曼子流形的联络 26
2.7.2 黎曼商流形的联络 26
2.8 流形上的曲线 27
2.8.1 指数映射、收缩与对数映射 28
2.8.2 并行移动 30
2.8.3 曲率 32
2.9 定秩对称半正定矩阵的嵌入几何 33
2.9.1 嵌入子流形 34
2.9.2 半代数几何中的嵌入子流形 38
2.9.3 切空间 38
2.9.4 黎曼度量 40
2.9.5 正交空间 40
2.9.6 正交投影 41
2.9.7 Levi-Civita 联络 42
2.9.8 测地线 42
2.10 常用的流形 43
2.11 Grassmann 流形和 Stiefel 流形的几何结构 44
2.12 本章小结 48
第3章 基于收缩的黎曼流形优化理论与方法 49
3.1 线搜索和收缩 50
3.2 黎曼最速下降法 52
3.3 黎曼牛顿法 53
3.4 黎曼共轭梯度法 54
3.5 黎曼信赖域法 57
3.5.1 基本黎曼信赖域法 57
3.5.2 收敛性分析 61
3.5.3 黎曼信赖域的实现细节 70
3.6 黎曼拟牛顿法 71
3.6.1 欧氏空间上的割线条件 71
3.6.2 黎曼流形上的割线条件 74
3.6.3 Broyden 系列黎曼拟牛顿法 75
3.6.4 全局收敛性分析 78
3.7 本章小结 83
第4章 低秩流形收缩 84
4.1 引言 84
4.2 低秩流形及收缩 84
4.2.1 低秩流形及收缩的基本概念 85
4.2.2 流形上的收缩 87
4.2.3 计算量分析 87
4.3 八种低秩流形收缩 88
4.3.1 投影收缩 88
4.3.2 正交收缩 89
4.3.3 紧 Stiefel 商收缩 90
4.3.4 非紧 Stiefel 商收缩 91
4.3.5 简单二阶收缩 92
4.3.6 简单二阶平衡收缩 93
4.3.7 Lie-Trotter 扩展收缩 94
4.3.8 指数收缩 96
4.4 数值仿真与实验分析 96
4.4.1 点对点距离对比 97
4.4.2 二阶特性分析 98
4.4.3 对称性分析 98
4.4.4 运行时间对比 98
4.5 低秩矩阵填充 99
4.6 本章小结 102
第5章 基于 Grassmann 流形优化的鉴别性结构化字典学习及应用 103
5.1 引言 103
5.2 问题建模 105
5.3 基于 Grassmann 流形优化的鉴别性结构化字典学习 107
5.3.1 交替最小化 107
5.3.2 黎曼共轭梯度 109
5.3.3 收敛性分析 110
5.3.4 计算复杂度分析 111
5.3.5 实现细节 112
5.4 图像复原实验结果 112
5.4.1 实验参数及配置 112
5.4.2 示例 114
5.4.3 去除混合高斯和随机冲击噪声的实验结果 115
5.4.4 去除混合高斯、椒盐噪声和随机冲击噪声的实验结果 118
5.4.5 三个图像数据集的实验结果 121
5.4.6 算法时间复杂度对比分析实验 121
5.5 本章小结 122
第6章 基于黎曼流形优化的多源多波段图像融合 123
6.1 引言 123
6.2 基于低秩先验的多源多波段图像融合 124
6.2.1 多源多波段图像观测模型 124
6.2.2 线性混合模型 125
6.2.3 基于低秩先验的多源多波段图像融合模型 125
6.3 基于黎曼流形优化的多源多波段图像融合模型求解 126
6.3.1 交替最小化 126
6.3.2 求解子问题 128
6.4 多源多波段图像融合实验及融合性能分析 132
6.4.1 实验参数 132
6.4.2 实验结果及融合性能分析 133
6.5 本章小结 136
第7章 基于黎曼流形优化的特征值问题求解 137
7.1 引言 137
7.2 基于黎曼最速下降的特征值问题求解 139
7.2.1 单位球面约束的 Rayleigh 商最小化 139
7.2.2 Stiefel 流形上的 Brockett 函数最小化 140
7.3 黎曼最速下降法收敛性分析 142
7.3.1 流形的收敛特性 142
7.3.2 最速下降法收敛性 143
7.3.3 不动点的稳定性 144
7.4 基于黎曼牛顿的特征值问题求解 145
7.4.1 特征值问题的黎曼 Hessian 145
7.4.2 定秩流形上的 Jacobi 修正方程 147
7.4.3 子空间加速 154
7.4.4 计算复杂度分析 155
7.4.5 局部方程的块 Jacobi 预条件 155
7.5 数值仿真实验 157
7.5.1 数值仿真实验一 158
7.5.2 数值仿真实验二 159
7.5.3 数值仿真实验三 160
7.5.4 数值仿真实验四 160
7.6 本章小结 161
参考文献 162
附录 184
编后记 191