拓扑学基础

《拓扑学基础》主要介绍点集拓扑学的基本知识。《拓扑学基础》分为十七讲，包括预备知识，拓扑空间的基本概念，拓扑空间之间的连续映射，拓扑基与邻域基，Tychonoff积空间，分离性公理，Urysohn引理与接近正则空间，点网与滤子，拓扑空间的紧致性，列紧性、可数紧性与伪紧性，局部紧性与Baire空间，仿紧性，连通性与道路连通性，度量空间的完备性与完备化，商空间与商映射，函数空间，同伦映射与空间的同伦等价。每讲内容介绍都比较深入，并配备大量的例题和习题。

前言
第1讲 预备知识 1
1.1 集合代数与关系 1
1.2 函数与等价关系 3
1.3 序关系与选择公理 4
1.4 集合的可数性 9
*1.5 基数 10
习题 11
第2讲 拓扑空间的基本概念 15
2.1 拓扑空间的定义 15
2.2 度量拓扑与度量空间 19
2.3 拓扑空间的几个基本概念 22
2.3.1 闭集 22
2.3.2 邻域、内点和内部 23
2.3.3 聚点与闭包 24
2.3.4 序列的收敛性 27
2.4 子空间 28
习题 30
第3讲 拓扑空间之间的连续映射 34
3.1 连续映射的概念 34
3.2 连续映射的性质与粘接引理 37
3.3 同胚映射 41
3.4 嵌入与嵌入映射 44
习题 45
第4讲 拓扑基与邻域基 48
4.1 拓扑基与子基 48
4.2 邻域基 53
习题 58
第5讲 Tychono 积空间 61
5.1 有限多个空间的积空间 61
5.2 任意多个空间的积空间 64
5.3 拓扑性质的可乘性 70
习题 73
第6讲 分离性公理 75
6.1 分离性公理的概念 75
6.2 各种分离性的基本性质 79
6.3 各种分离性之间的关系 83
习题 87
第7讲 Urysohn 引理与接近正则空间 90
7.1 Urysohn 引理 90
7.2 Tietze 扩张引理 93
7.3 接近正则空间 97
7.4 Urysohn 度量化定理 102
习题 104
第8讲 点网与滤子 106
8.1 点网 106
8.2 滤子 111
习题 115
第9讲 拓扑空间的紧致性 117
9.1 紧致性概念 117
9.2 紧致空间的基本性质 119
9.3 度量空间中的紧致性 126
习题 129
第10讲 列紧性、可数紧性与伪紧性 132
10.1 列紧性 132
10.2 可数紧性 135
10.3 伪紧性 140
习题 143
第11讲 局部紧性与 Baire 空间 145
11.1 局部紧性 145
11.2 非紧的接近正则空间的紧致化 148
11.2.1 局部紧致而非紧致的 Hausdor 空间的 Alexandro 单点紧致化 148
11.2.2 Stone-Cech 紧致化简介 150
11.3 Baire 空间 151
习题 153
第12讲 仿紧性 155
12.1 仿紧空间的概念 155
12.2 仿紧空间的性质 160
习题 166
第13讲 连通性与道路连通性 168
13.1 连通性的概念 168
13.2 连通空间的性质 169
13.3 连通分支 173
13.4 局部连通性 173
13.5 道路与道路连通空间 176
13.6 道路连通分支 179
13.7 局部道路连通 179
习题 181
第14讲 度量空间的完备性与完备化 184
14.1 Cauchy 序列 184
14.2 完备度量空间 185
14.3 度量空间的接近有界性 191
14.4 完备度量空间的子空间 194
14.5 度量空间的完备化 197
习题 200
第15讲 商空间与商映射 202
15.1 商空间 202
15.2 商映射 205
*15.3 拓扑锥与贴空间 209
*15.4 映射柱与映射锥 213
习题 215
第16讲 函数空间 219
16.1 点式收敛拓扑 219
16.2 RX 上的一致收敛拓扑 220
16.3 紧开拓扑 223
16.4 k-空间与 Ascoli 定理 227
习题 231
附录 处处连续但处处不可导的函数的存在性证明 233
第17讲 同伦映射与空间的同伦等价 238
17.1 映射的同伦 238
17.2 空间的同伦等价 245
17.3 可缩空间 251
习题 252
参考文献 254
索引 255