模形式初步

本书主要探讨模形式的经典面向，包括Hecke算子和L-函数的相关理论。最后两章简介模曲线和模形式的联系。附录提供了所需的分析、几何和数论知识。本书可作为高等学校数学专业的高年级本科生或研究生教材，也可作为自学之用。

《现代数学基础丛书》序
导言
第一章 基本定义
1.1 线性分式变换
1.2 圆盘模型
1.3 变换的分类和不动点
1.4 同余子群、尖点、基本区域
1.5 整权模形式初探
1.6 Dirichlet区域
第二章 案例研究
2.1 经典分析:Γ函数
2.2 Riemann函数初探
2.3 Eisenstein级数:SL(2, Z)情形
2.4 E2,η与j函数
2.5 主同余子群Γ(N)的Eisenstein级数
2.6 同余子群的Eisenstein级数概述
第三章 模曲线的解析理论
3.1 复结构
3.2 添入尖点
3.3 同余子群情形
3.4 Siegel定理与紧化
3.5 间奏：可公度性、算术子群、四元数
3.6 整权模形式的一般定义
3.7 Petersson内积
3.8 与复环面的关系
第四章 维数公式与应用
4.1 热身：除子类的计算
4.2 亏格公式
4.3 偶数权维数公式
4.4 应用举隅
4.5 亚纯模形式的存在性
4.6 奇数权维数公式
第五章 Hecke算子通论
5.1 双陪集与卷积
5.2 双陪集代数：模与反对合
5.3 与Hermite内积的关系
5.4 模形式与Hecke算子
5.5 SL(2, Z)情形概观：Hall代数
5.6 特征形式初探
第六章 同余子群的Hecke算子
6.1 菱形算子和Tp算子
6.2 双陪集结构
6.3 一般的Tn算子和特征形式
6.4 旧形式与新形式
6.5 Atkin-Lehner定理
第七章 L-函数
7.1 Fourier系数的初步估计
7.2 Mellin变换与Dirichlet级数
7.3 应用:从θ级数到平方和问题
7.4 Hecke 特征形式的L-函数
7.5 函数方程
7.6 凸性界
第八章 椭圆函数和复椭圆曲线
8.1 椭圆函数
8.2 射影嵌入
8.3 复环面的情形
8.4 Jacobi簇与椭圆曲线
8.5 加法结构和若干例子
8.6 复乘初阶
8.7 起源与应用
第九章 上同调观模形式
9.1 模形式作为全纯截面
9.2 若干局部系统
9.3 上同调与滤过
9.4 Eichler-志村同构
9.5 抛物上同调
9.6 上同调观Hecke算子
第十章 模形式与模空间
10.1 Tate曲线
10.2 几何模形式
10.3 Eichler-志村关系：Hecke算子
10.4 Eichler-志村关系：主定理
10.5 重访Hecke代数
10.6 从特征形式构造Galois表示
10.7 模性一瞥
参考文献
附录A 分析学背景
A.1 拓扑群及其作用
A.2 基本区域
A.3 正规收敛与全纯函数
A.4 无穷乘积
A.5 调和分析
A.6 Phragm′en-Lindelof原理
附录B Riemann曲面背景
B.1 层与局部系统
B.2 Riemann曲面概貌
B.3 分歧复叠
B.4 态射与Riemann-Hurwitz公式
B.5 全纯向量丛及其截面
B.6 亚纯微分的应用
B.7 Riemann-Roch定理的陈述
附录C 算术背景
C.1 群的上同调
C.2 Galois群及p-进数
C.3 Galois表示和平展上同调
符号索引
名词索引暨英译
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