午餐时间聊数学

如果说《咖啡时间聊数学》是引起你数学兴趣的“零食”，本书将是一场数学的“饕餮盛宴” 作者网罗众多有趣的数学冷知识，如数家珍地展现在你的面前，一道接一道，一口接一口，定会让你大快朵颐！

头盘 一些跟数学有关的悖论
希尔伯特旅馆悖论
培里悖论
芝诺悖论
两败相遇必有一胜
蒙蒂·霍尔悖论
超级任务
说谎者悖论
为了少数票
副菜 现实生活中的数学
改头换面
齐夫定律和长尾效应
条形码及其检测
谣言是阵微风
蝴蝶效应
艰难的抉择
居住隔离和性别歧视
疫苗和群体免疫
主菜 基础数学
鸡兔同笼
世界各地的乘法
调和级数
皮克定理
斐波那契数列和黄金分割
心算
不要蒙答案
数学魔术
甜点 趣味数学
密铺多边形
买彩票的很好时机
比萨定理
一年中哪天黑得最早
比尔·盖茨和翻煎饼难题
冰雹猜想
民意调查中的坑
共享知识
餐后助消化

     头盘 一些跟数学有关的悖论 希尔伯特旅馆悖论 这个悖论源于伽利略。在《关于托勒密和哥白尼两大世界体系的对话》一书中，他经过初步观察之后发现：平方数肯定比自然数的数量要少。但是我们可以把每个平方数和其自然数一一对应起来，因此这两个集合所包含的元素应该是一样多的。在有着上千年历史的希腊哲学传统的影响下，伽利略得出的结论是没有人可以用无穷大的数字来解决数学问题，尽管他自己经常背离这个传统。随后，康托尔指出：“好吧，问题在哪儿呢？在处理无穷大的问题时，只需要改变一下规则就可以了。我们把能跟集合本身其中一部分对应起来的集合视为无穷大的集合就可以了。”对于认为数学只有专享答案的人来说，改变规则可能会很奇怪。就像伊恩·斯图尔特先生所言，数学家们停止证明并不是因为这个是不可能的，如果他们对这个证明感兴趣，他们会找各种方法使之变成可能。 然而，仅仅给出一个无穷大的定义是不够的，这个概念还得跨过科学界向公众进行普及。在这一点上，康托尔并不是一个我们今日所说的聪明的传播者。幸好，戴维·希尔伯特对这个很有兴趣，他不仅是19世纪末20世纪初伟大的数学家之一，还是上流社会沙龙中的常客。希尔伯特在1924年的一次聚会上提出了一个特别的J障论；几十年后，乔治·伽莫夫使这个悖论走红，并将其命名为“希尔伯特旅馆悖论”，这个命名违背了当时数学发现不用发现者名字命名的规定。别担心，多亏了《特别的旅馆》（The Extraordinary Hotel）一书中的描写，里面或多或少遵循了这个规定。很多人认为这本书是斯坦尼斯拉夫·莱姆写的，但其实是由俄罗斯数学家瑙姆·雅科夫列维奇·维兰金写的。 好了，接下来让我们详细讲讲希尔伯特旅馆悖论吧！有一个美丽的度假胜地，这里的旅馆有一个独特之处：它有无数的房间，所有的房间都对应一个固定的数字。不巧的是，里面所有的房间都住满了，但是旅馆从来没有贴出过“房已住满”的告示。事实上，如果有一位新客人入住，那么旅馆就会安排他到1号房间，把1号房间原来的客人安排到2号房间（“我们理解您的不便，但我们向您保证，新房间将比现在这间更好！”）。2号房间的客人将被转到3号，3号到4号，直到力+1号房间，这样每个人都有自己的房间。不用说，就算来的新客人有100万个，这种方法也适用。到了康托尔杯决赛这天，无数球迷涌进来，这个时候事情就有点复杂了，经理没办法把新客人安排到“无限大”号的房间里，因为无限大不是一个数字。不过经理是个很会变通的人，他把1号房间的客人安排到2号房间，把2号房间的客人安排到4号房间，以此类推，把n号房间的客人安排到2n号房间，这样就把所有的奇数号房间空出来，只有偶数号房间住了客人，那么新来的球迷客人就能住到奇数号房间里。这样一来，除了换房间的麻烦和清洁费用变多以外，就没有其他烦人的事了。 还有其他的情况。希尔伯特旅馆属于一家连锁酒店，这家连锁酒店有无数个像希尔伯特旅馆这样有无数房间的旅馆。为了节约成本，酒店决定关闭其他的有无数房间的旅馆，把所有客人都安排到希尔伯特旅馆。这个时候旅馆经理要怎么安排让无数个客人住进无数个房间呢？ 我们可以选择最简单的一种方法，将住在n号房间的客人安排到2n号房间里。然后给其他旅馆单独编一个编号（质数），那么p旅馆n号房间的客人在希尔伯特旅馆的房间的编号就是p×2n。由于因数分解定理的独特性，不会产生两个客人被安排到同一个房间的状况。专享可能产生的状况是旅馆还剩下很多空房间，酒店的管理人员会继续抱怨资源浪费。不过旅馆经理很聪明，他设计了如图1所示的换房间路径。从希尔伯特旅馆开始对所有旅馆进行编号，希尔伯特旅馆为1号旅馆。每当需要安排房间时，则先按图中的方向进行移动。第一次安排房间，1号旅馆1号房间的客人保持不动。2号和3号房间的客人则分别被2号旅馆1号房间的客人和1号旅馆2号房间的客人所取代，2号旅馆1号房间空出。第二次安排房间，4～6号房间的客人则分别被1号旅馆3号房间的客人、2号旅馆2号房间的客人和3号旅馆1号房间的客人所取代，原来房间的客人则按方向进行移动；以此类推。客人也可以从图中看出自己该住哪个房间。 但是可别以为能用这种方法接待所有类型的客人。如果来的客人是公司的代表，每个代表都有对应的公司表示，并且有独一无二的位置做区分，那么正如康托尔所言，这种情况下就没办法接待这些客人了。他们得去用实数进行编号的连锁酒店而不是去用自然数编号的旅馆，似乎……总之，这些区别是无穷无尽的。 最后，我再介绍一个更加令人不安的悖论。在希尔伯特旅馆里有很严格的禁烟规定，不仅旅馆里面不允许吸烟，外面来的人也不允许把烟带进去。有一天晚上，1号房间的客人突然非常想吸烟，但是他没有烟，于是他去找2号房间的客人。2号房间的客人也没有烟，但是他也很想吸烟，所以去找3号房间的客人想要两支，一支给自己，一支给1号房间的客人，以此类推，那