算术研究 全新插图本

在《算术研究》的序言中，高斯便已明确指明了本书的研究范围：“数学中的整数部分，不包括分数和无理数”。《算术研究》的正文则分为七章。第一章讨论数的同余；第二章讨论一次同余方程；第三章讨论幂剩余并证明了费马小定理；第四章讨论二次同余方程；第五章系统扩展了二次型的理论（这使得高斯必然地成为了群论的先驱之一）；第六章讨论了前述理论在特殊情况下的运用；第七章讨论了分圆方程，这一章也被认为是本书最精彩的内容。

自序/1
导读：高斯——离群索居的王子/5
第1章同余数概论(第1～12条)/1
第1节同余的数，模，剩余和非剩余(2)
第2节最小剩余(4)
第3节关于同余的基本定理(5)
第4节一些应用(8)
第2章一次同余方程(第13～44条)/9
第1节关于质数、因数等的初步定理(10)
第2节解一次同余方程(17)
第3节对于给定模求与给定剩余同余的数的方法(22)
第4节多元线性同余方程组(26)
第5节一些定理(29)
第3章幂剩余(第45～93条)/37
第1节首项为1的几何数列各项的剩余构成周期序列(38)
第2节对于模p(质数)，数列周期的项数是数p-1的因数(40)
第3节费马定理(42)
第4节有多少数对应于某个项数为p-1的因数的周期(44)
第5节原根，基和指标(48)
第6节指标的运算(49)
第7节同余方程xn≡A的根(51)
第8节不同系统的指标间的关系(59)
第9节适合特殊目的的基数(62)
第10节求原根的方法(63)
第11节关于周期和原根的几条定理(66)
第12节威尔逊定理(67)
第13节模是质数方幂(72)
第14节模为2的方幂(78)
第4章二次同余方程(第94～152条)/81
第1节二次剩余和非剩余(82)
第2节当模是质数时，小于模的剩余的个数等于非剩余的个数(84)
第3节合数是不是给定质数的剩余或非剩余的问题，取决于它的因数的性质(86)
第4节合数模(88)
第5节给定的数是给定质数模的剩余或非剩余的一般判别法(94)
第6节给定的数作为剩余或非剩余的质数的研究(95)
第7节剩余为-1(96)
第8节剩余为+2和-2(99)
第9节剩余为+3和-3(103)
第10节剩余为+5和-5(106)
第11节剩余为+7和-7(109)
第12节为一般性讨论做的准备(110)
第13节通过归纳法发现的一般的(基本)定理及其推论(116)
第14节基本定理的严格证明(123)
第15节证明条目114的定理的类似的方法(130)
第16节一般问题的解法(132)
第17节以给定的数为其剩余或非剩余的所有质数的线性形式(135)
第18节其他数学家关于这些研究的著作(140)
第19节一般形式的二阶同余方程(142)
第5章二次型和二次不定方程(第153～307条)/143
第1节型的定义和符号(144)
第2节数的表示：行列式(145)
第3节数M由型(a，b，c)表示时所属表达式(b2ac)-(modM)的值(146)
第4节正常等价与反常等价(150)
第5节相反的型(152)
第6节相邻的型(154)
第7节型的系数的公约数(155)
第8节一个给定的型变换为另一个给定的型时所有可能的同型变换的关系(157)
第9节歧型(164)
第10节关于一个型既正常又反常地包含于另一个型的情况的定理系(165)
第11节关于由型表示数的一般性研究以及这些表示与代换的关系(171)
第12节行列式为负的型(177)
第13节特殊的应用：将一个数拆分成两个平方数，拆分成一个平方数和另一个平方数的两倍，拆分成一个平方数和另一个平方数的三倍(192)
第14节具有正的非平方数的行列式的型(196)
第15节行列式为平方数的型(237)
第16节包含在与之不等价的型中的型(245)
第17节行列式为0的型(250)
第18节所有二元二次不定方程的一般整数解(253)
第19节历史注释(260)
第20节将给定行列式的型进行分类(262)
第21节类划分为层(266)
第22节层划分为族(270)
第23节型的合成(281)
第24节层的合成(312)
第25节族的合成(313)
第26节类的合成(317)
第27节对于给定的行列式，在同一个层的每个族中存在相同个数的(321)
第28节不同的层中各个族所含类的个数的比较(322)
第29节歧类的个数(331)
第30节对于给定的行列式，所有可能的特征有一半不属于任何正常原始族(338)
第31节对基本定理以及与剩余为-1，+2，-2有关的其他定理的第2个证明(339)
第32节对不适合任何族的那一半特征的进一步讨论(342)
第33节把质数分解为两个平方数的特殊方法(345)
第34节关于三元型讨论的题外话(347)
第35节如何求出这样一个型，由它加倍可得到给定的属于主族的二元型(384)
第36节除了在条目263和264中已经证明其不可能的那些特征外，其他所有的特征都与某个族相对应(386)
第37节把数和二元型分解为三个平方数的理论(388)
第38节费马定理的证明：任何整数都能分解成三个三角数或者四个平方数(398)
第39节方程ax2+by2+cz2＝0的解(400)
第40节勒让德先生讨论基本定理的方法(406)
第41节由三元型表示零(411)
第42节二元二次不定方程的有理通解(414)
第43节族的平均个数(415)
第44节类的平均个数(418)
第45节正常原始类的特殊算法：正则和非正则行列式(423)
第6章前面讨论的若干应用(第308～334条)/433
第1节将分数分解成更简单的分数(435)
第2节普通分数转换为十进制数(437)
第3节通过排除法求解同余方程(444)
第4节用排除法解不定方程mx2+ny2＝A(448)
第5节当A是负数时，解同余方程x2≡A的另一种方法(455)
第6节将合数同质数区分开来并确定它们的因数的两种方法(459)
第7章分圆方程(第335～366条)/469
第1节讨论把圆分成质数份的最简单情况(471)
第2节关于圆弧(它由整个圆周的一份或若干份组成)的三角函数的方程并归为方程xn-1＝0的根(472)
第3节方程xn-1＝0的根的理论(假定n是质数)(476)
第4节以下讨论的目的之声明(478)
第5节Ω中所有的根可以分为某些类(周期)(480)
第6节关于这些周期的各种定理(482)
第7节由前面的讨论解方程X＝0(494)
第8节以n＝19为例，运算可以简化为求解两个三次方程和一个二次方程(497)
第9节以n＝17为例，运算可以简化为求解四个二次方程(501)
第10节关于根的周期的进一步讨论——有偶数个项的和是实数(506)
第11节关于根的周期的进一步讨论——把Ω中的根分成两个周期的方程(507)
第12节证明第4章中提到的一个定理(510)
第13节把Ω中的根分成三个周期的方程(512)
第14节把求Ω中根的方程化为最简方程(517)
第15节以上研究在三角函数中的应用——求对应于Ω中每个根的角的方法(522)
第16节以上研究在三角函数中的应用——不用除法从正弦和余弦导出正切、余切、正割以及余割(524)
第17节以上研究在三角函数中的应用——对三角函数逐次降低次数的方法(527)
第18节以上研究在三角函数中的应用——通过解二次方程或者尺规作图能够实现的圆周的等分(532)
附注(535)
附表(537)