编码与曲线

信息在传输时很可能会发生错误。随着每天通过电子方式传输大量信息，这个问题变得越来越重要。编码理论研究打包数据的有效方法，以便错误可以被检测甚至纠正。编码理论中的传统工具源于组合学和群论。由于20世纪70年代后期Goppa的工作，编码学家将代数几何的技术添至其工具箱中。特别地，通过将Reed-Solomon编码重新解释为来自与射影直线上除子相关的评估函数，我们可以了解如何基于其他除子或其他代数曲线来定义新的编码。例如，使用有限域上的模曲线，Tsfasman、Vladut和Zink证明，可以定义一系列编码，使其具有比任何已知编码都更好的渐近参数。本书基于作者关于算术代数几何的系列讲座。在这里，读者被引入到激动人心的代数几何编码领域。作者使用交谈的语气做阐述，内容涵盖线性码（包括循环码）、编码参数的边界和渐近边界。书中介绍了代数几何，特别关注了射影曲线、有理函数和除子，给出代数几何编码的构造，讨论了上述Tsfasman-Vladut-Zink的结果。阅读本书不需要具备编码理论或代数几何的预备知识，但假定读者对抽象代数（特别是有限域）有所了解，相关材料在两个附录中做了回顾。还有一个附录介绍了书中未谈及的其他编码项目。本书适合对编码理论、代数几何以及这两个学科间的联系感兴趣的读者阅读。

IAS/Park City Mathematics Institute
Preface
Chapter1.Introduction to Coding Theory
§1.1.Overview
§1.2.Cyclic Codes
Chapter2.Boundson Codes
§2.1.Bounds
§2.2.Asymptotic Bounds
Chapter3.Algebraic Curves
§3.1.Algebraically Closed Fields
§3.2.Curves and the Projective Plane
Chapter4.Nonsingularity and the Genus
§4.1.Nonsingularity
§4.2.Genus
Chapter5.Points, Functions, and Divisors on Curves
Chapter6.Algebraic Geometry Codes
Chapter7.Good Codes from Algebraic Geometry
Appendix A.Abstract Algebra Review
§A.1.Groups
§A.2.Rings, Fields, Ideals, and Factor Rings
§A.3.Vector Spaces
§A.4.Homomorphisms and Isomorphisms
Appendix B.Finite Fields
§B.1.Background and Terminology
§B.2.Classification of Finite Fields
§B.3.Optional Exercises
Appendix C.Projects
§C.1.Dual Codes and Parity Check Matrices
§C.2.BCH Codes
§C.3.Hamming Codes
§C.4.Golay Codes
§C.5.MDS Codes
§C.6.Nonlinear Codes
Bibliography