数学的思维方式与创新

《数学的思维方式与创新》是作者丘维声在北京大学多次给本科生讲授“数学的思维方式与创新”素质教育通选课的教材。什么是数学的思维方式？如何培养学生的数学思维能力？数学的思维方式包括哪几个环节？作者用通俗易懂的语言论述了数学思维方式的五个重要环节：观察—抽象—探索—猜测—论证。讲述了数学上的创新是如何推动数学的发展，而数学的思维方式在创新中是怎样起着重要作用的，使学生领略数学创新的风采，受到数学思维方式与创新的熏陶和训练，提高数学素质。《数学的思维方式与创新》以现代数学和信息时代有重要应用的数学知识和数学发展目前若干重要创新为载体，从同学们熟悉的整数、多项式出发，讲述整数环、一元多项式环的结构；从“星期”这一司空见惯的现象引出集合的划分、等价关系和模m剩余类的概念，进而研究模m剩余类环的结构；从信息时代为了确保信息安全引出序列密码和公开密钥密码，以及数字签名；从数学发展目前选出三个重大创新进行阐述，它们是：从对运动的研究到微积分的创立和严密化，从平行公设到非欧几里得几何的诞生与实现；从方程的根式可解问题到伽罗瓦理论的创立和代数学的变革。全书共分四章，第一、二、三章每节配置了习题，书末给出了习题解答，供教师和学生参考。本书的特点是运用数学的思维方式讲授数学知识，通过观察客观现象引出数学概念，提出要研究的问题，着重启发学生进行探索、猜测可能有的规律，然后进行严密论证，在论证中强调创新思想。对数学发展目前三个重大创新，不仅介绍了创新的历史进程，而且着重讲述这些创新的内容及给我们的启迪。本书可作为高等院校本科生素质教育通选课的教材或教学参考书，也可作为数学工作者、中学数学教师、高中生和大学生课外阅读书。

丘维声，北京大学数学系教授、博士生导师。北京大学数学科学学院教授，国家教学名师。在我社已经出版三本教材《简明线性代数》，《数学的思维方式与创新》，《解析几何》。

引言
第一章 从星期到模m剩余类环
§1.1 集合的划分与等价关系
§1.2 模m剩余类环Zm，环和域的概念
§1.3 整数环的结构
§1.4 Zm的可逆元的判定，模p剩余类域，域的特征，费马小定理
§1.5 中国剩余定理
§1.6 Zm的可逆元的个数，欧拉函数
§1.7 Zm的单位群Z*m，欧拉定理，循环群及其判定
1.7.1 Z*m的结构，群
1.7.2 欧拉定理
1.7.3 群的元素的阶
1.7.4 循环群及其判定
§1.8 筛法，威尔逊定理，素数的分布
1.8.1 筛法,威尔逊定理
1.8.2 素数的分布
1.8.3 素数的计数
第二章 从解方程到一元多项式环
§2.1 一元多项式环的概念
§2.2 带余除法，整除关系
§2.3 优选公因式
2.3.1 优选公因式
2.3.2 互素的多项式
§2.4 不可约多项式，专享因式分解定理
§2.5 多项式的根，多项式函数，复数域上的不可约多项式
2.5.1 多项式的根
2.5.2 多项式函数
2.5.3 复数域上的不可约多项式
§2.6 实数域上的不可约多项式
§2.7 有理数域上的不可约多项式
第三章 从通信安全到密码学
§3.1 序列密码
§3.2 线性反馈移位寄存器，m序列
§3.3 公开密钥密码体制，RSA密码系统
§3.4 数字签名
第四章 数学发展目前若干重大创新
§4.1 从对运动的研究到微积分的创立和严密化
4.1.1 17世纪对天体运动的研究
4.1.2 牛顿和莱布尼茨创立微积分
4.1.3 微积分的严密化
4.1.4 实数系的连续性与完备性
§4.2 从平行公设到非欧几里得几何的诞生与实现
4.2.1 欧几里得几何
4.2.2 对平行公设的质疑
4.2.3 非欧几里得几何的诞生
4.2.4 非欧几何在现实物质世界中的实现
4.2.5 非欧几何的诞生与实现给我们的启迪
§4.3 从方程根式可解问题到伽罗瓦理论的创立与代数学的变革
4.3.1 三次、四次方程的解法
4.3.2 拉格朗日等人对于五次及更高次一般方程不能用根式解的研究
4.3.3 伽罗瓦研究可用根式求解的方程的特性的思想
4.3.4 伽罗瓦理论的基本定理
4.3.5 方程根式可解的判别准则
4.3.6 高于四次的一般方程不是根式可解的证明
4.3.7 伽罗瓦理论的创立给我们的启迪
附录1 研究群的结构的途径
§1.1 子群，正规子群，商群
§1.2 群的同态，可解群
附录2 域扩张的途径及其性质
§2.1 理想，商环，环同态，极大理想，域扩张的途径
§2.2 域扩张的性质，分裂域，伽罗瓦扩张
习题解答
参考文献