凸优化的理论和方法

《凸优化的理论和方法》系统介绍了凸优化的理论和方法，包括凸集、凸函数、凸优化问题、对偶问题、无约束凸优化问题的较速下降方法和Newton方法、具有线性等式约束的凸优化问题的Newton型方法和具有不等式约束的凸优化问题的内点法，还介绍了线性半定规划的一些性质和算法，并对目标函数具有可分结构的一类凸优化问题介绍了基本的交替方向乘子方法。《凸优化的理论和方法》对介绍的各种概念、性质、算法，除了严格的描述或推导，也通过一些例子和图示，帮助读者更好地从直观上或具体实例中理解所介绍的内容。

前言
第1章 凸集
1.1 仿射集合和凸集
1.1.1 仿射维数与相对内部
1.1.2 凸集
1.1.3 锥
1.2 一些重要的例子
1.2.1 超平面与半空间
1.2.2 Euclid球和椭球
1.2.3 范数球和范数锥
1.2.4 多面体
1.2.5 半正定锥
1.3 保凸运算
1.3.1 交集
1.3.2 仿射函数
1.3.3 线性分式及透视函数
1.4 分离与支撑超平面
1.4.1 超平面分离定理
1.4.2 支撑超平面
1.5 对偶锥
习题1
第2章 凸函数
2.1 基本性质和例子
2.1.1 定义及扩展值延伸
2.1.2 凸函数的判定
2.1.3 一些例子
2.1.4 下水平集和上境图
2.1.5 Jensen不等式及其扩展
2.2 保凸运算
2.2.1 非负加权求和
2.2.2 复合仿射映射
2.2.3 逐点优选和逐点上确界
2.2.4 最小化形式的凸性
2.2.5 透视函数
2.3 共轭函数
习题2
第3章 凸优化问题
3.1 凸优化问题
3.1.1 基本术语
3.1.2 问题的标准表示
3.1.3 等价问题
3.2 凸优化
3.2.1 标准形式的凸优化问题
3.2.2 局部很优解与全局很优解
3.2.3 很优性准则
3.3 线性规划问题
3.4 二次优化问题
3.4.1 几个例子
3.4.2 二阶锥规划
习题3
第4章 对偶
4.1 Lagrange对偶函数
4.1.1 Lagrange函数
4.1.2 Lagrange对偶函数及性质
4.1.3 一些例子
4.1.4 Lagrange对偶函数和共轭函数
4.2 Lagrange对偶问题
4.2.1 显式表达对偶约束
4.2.2 弱对偶性
4.2.3 强对偶性和Slater约束准则
4.2.4 几个例子
4.3 强对偶性的证明
4.4 鞍点解释
4.4.1 强弱对偶性的极大极小描述
4.4.2 鞍点解释
4.5 很优性条件
4.5.1 次优解认证和终止准则
4.5.2 互补松弛性
4.5.3 KKT很优性条件
4.5.4 通过解对偶问题求解原问题
4.6 扰动及灵敏度分析
4.6.1 扰动的问题
4.6.2 一个全局不等式
4.6.3 局部灵敏度分析
4.7 例子
习题4
第5章 无约束优化
5.1 无约束优化问题
5.1.1 几个例子
5.1.2 强凸性及其性质
5.2 下降方法
5.3 梯度下降方法
5.3.1 收敛性分析
5.3.2 几个例子
5.3.3 结论
5.4 二块凸优化模型的梯度型算法
5.4.1 问题模型
5.4.2 临近梯度方法
5.4.3 算法和收敛性
5.4.4 快速临近梯度方法
5.5 Newton方法
5.5.1 Newton方向
5.5.2 阻尼Newton方法
5.5.3 收敛性分析
5.5.4 几个例子
5.5.5 总结
5.6 Newton方法的实现问题
习题5
第6章 等式约束优化
6.1 等式约束优化问题
6.1.1 等式约束凸二次规划
6.1.2 消除等式约束
6.1.3 用对偶方法求解等式约束问题
6.2 具有可行初始点的Newton方法
6.2.1 Newton方向
6.2.2 等式约束问题的Newton方法
6.2.3 Newton方法和消除法
6.2.4 收敛性分析
6.3 不可行初始点的Newton方法
6.3.1 不可行点的Newton方向
6.3.2 不可行初始点Newton方法
6.3.3 收敛性分析
6.3.4 数值算例
习题6
第7章 内点法
7.1 对数障碍函数和中心路径
7.1.1 对数障碍
7.1.2 中心路径
7.2 障碍函数方法
7.2.1 障碍函数方法
7.2.2 收敛性分析
7.2.3 修改的KKT方程的Newton方向
7.3 可行性和阶段 1方法
7.3.1 基本的阶段 1方法
7.3.2 用不可行初始点Newton方法求解阶段1问题
7.4 原对偶内点法
7.4.1 原对偶搜索方向
7.4.2 代理对偶间隙
7.4.3 原对偶内点法
7.5 算法的实现
7.5.1 标准形式线性规划
7.5.2 l1-范数逼近
习题7
第8章 线性半定规划
8.1 预备知识
8.1.1 矩阵空间的一些记号和运算
8.1.2 凸集与半定锥
8.1.3 矩阵积
8.2 线性半定规划的一些性质
8.2.1 模型与基本概念
8.2.2 对偶性
8.2.3 可行性
8.2.4 很优性条件
8.2.5 解的专享性
8.3 一个算法
习题8
第9章 交替方向乘子法
9.1 ADMM算法简介
9.2 具可分结构的一些凸优化模型
9.3 很优性条件和停止准则
9.4 收敛性分析
9.5 目标函数是多块情形的ADMM
习题9
参考文献