集合论导引(第1卷:基本理论)

本卷是这本《集合论导引》的开卷，分为三章，是后续两卷的基础。第1章主要是引进集合论的基本公理、基本概念、基本方法，并给出典型的可数集合的例子，包括自然数集合、整数集合、有理数集合以及有限集合等。第2章主要是引进选择公理以及由此建立起来的基数运算律和一些典型组合实例。第3章专门引进实数集合并对它进行系统分析。本卷将建立一系列基本概念，为《集合论导引（第一卷）基本理论》作铺垫。

《现代数学基础丛书》序
序言
引言 1
第1章 传递集合 5
1.1 集合论语言及形式理论 5
1.1.1 集合论语言 6
1.1.2 集合论存在性公理 11
1.2 基本概念 15
1.2.1 关系和函数 15
1.2.2 势比较 18
1.2.3 集合论形式推理 18
1.3 自然数集合 20
1.3.1 最小无穷传递集合 20
1.3.2 自然数之序 23
1.3.3 第一递归定义定理 27
1.3.4 自然数算术运算 32
1.3.5 有限与无限 38
1.4 整数集与有理数集 43
1.4.1 整数集合 43
1.4.2 有理数集合 50
1.4.3 有理数线性序 54
1.5 第二递归定义定理 58
1.6 集合Vw与有限集合 62
1.7 序数 68
1.7.1 超限归纳法 71
1.7.2 超限递归定义 72
1.7.3 集合累积层次 76
1.8 秩序 79
1.8.1 秩序集 79
1.8.2 序数集合与序数函数 83
1.8.3 序数算术运算 91
1.8.4 快速增长数论函数层次 100
1.9 基数 105
1.9.1 基数之和与积 110
1.9.2 序数乘积空间上的典型秩序 111
1.10 传递化 112
1.10.1 传递集合之刚性 112
1.10.2 有秩关系 116
1.11 练习 121
第2章 不可数基数 134
2.1 选择公理 134
2.2 基数无穷和与无穷积不等式 142
2.2.1 基数无穷和 142
2.2.2 基数无穷乘积 145
2.2.3 基数不等式 146
2.3 滤子与理想 154
2.3.1 非荟萃集理想 159
2.3.2 荟萃子集可分裂性 167
2.3.3 广义无界闭子集与荟萃子集 171
2.4 奇异基数假设分析 182
2.4.1 银杰定理 182
2.4.2 嘎尔文-海纳定理 186
2.5 树 192
2.5.1 树特性 193
2.5.2 苏斯林树 195
2.5.3 马丁公理 197
2.6 划分定理 204
2.6.1 小势划分定理 204
2.6.2 大势划分定理 212
2.7 练习 214
第3章 实数集合 218
3.1 实数轴 218
3.2 实数有序域结构 220
3.3 连续统假设 223
3.4 实数轴拓扑结构 226
3.5 实数子集正则性 232
3.5.1 贝尔性质 232
3.5.2 勒贝格可测性 237
3.5.3 完备子集特性 242
3.6 贝尔空间与波兰空间 248
3.6.1 闭集树表示 251
3.6.2 博雷尔集 255
3.6.3 解析子集 258
3.6.4 投影集层次 262
3.6.5 贝尔空间博弈论 268
3.7 非标准实数直线 281
3.8 苏斯林直线 288
3.9 练习 292
索引 295
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