第3章腔光力学系统中的光学双稳态 3.1双腔光力学系统中可控的光学双稳态 3.1.1引言 腔光力学领域研究机械振子与电磁腔通过辐射压力产生的相互作用［1？3］。在过去的十几年中，该领域取得了许多重要的进展，包括机械振子的量子基态冷［4，5］、光力诱导透明［6？8］、光子？声子之间的相干转换［9？11］，以及量子态传输腔［12？15］等。单个光子对宏观机械振子施加的辐射压力通常比较小并且本质上是非线性的。目前的实验主要聚焦在强驱动领域，光力耦合强度可以随着腔内光子数的增加而被极大增强［16，17］，但是这种增强以失去光子？光子之间相互作用的非线性作为代价。最近，单模［18？24］和双模［25？27］光力系统中有几个理论工作研究了单光子强耦合区域，其中单光子光力耦合强度超过了腔的衰减率。在这个区域，本质上是非线性的光力相互作用在单光子时也比较明显。 光力系统中的光学双稳态是一种重要的非线性效应。最近，包含玻色？爱因斯坦凝聚体(BEC)［28？30］、超冷原子［31？33］和量子阱［34］在内的腔光力学系统中腔内光子数的双稳态行为得到了广泛的研究。由于原子的集体振动，玻色？爱因斯坦凝聚体或者超冷原子中出现双稳行为时腔内的光子数通常比较低，有些甚至低于1。然而，在空腔组成的典型的光力系统中，通常只有在光子数比较多时才能发生双稳态行为。本研究考虑了两个光学腔共同耦合于一个机械振子构成的双腔光力系统中腔内光子数的双稳态行为，发现通过改变泵浦光束的功率和频率可以有效控制两个腔内光子数的双稳态行为，并且当腔内光子数低于1时仍然可以出现双稳态行为，因此在可控的光开关中有着重要的应用。 3.1.2模型和理论 研究的光力系统如图3.1.1所示。两个光学腔模耦合于一个共同的力学模式，它们之间的相互作用哈密顿量为HI=∑k=1，2gka？kak(b？+b)，其中ak和b分别是腔模和力学模式的湮灭算符，gk是力学模式和第k个腔模之间的单光子耦合强度。物理上，gk表示的是机械振子的零点运动引起的第k个腔模的频率移动。此外，左边的光学腔同时受到一束强度为EL、频率为ωL的强的泵浦场和一束强度为Ep、频率为ωp的弱的探测场驱动，而右边的光学腔只受到一束强度为ER、频率为ωR的强的泵浦场驱动。在泵浦场频率ωL和ωR的旋转框架下，该双腔光力系统的哈密顿表示如下： H=∑k=1，2Δka？kak+ωmb？b－∑k=1，2gka？kak(b？+b)+ iκe，1EL(a？1－a1)+iκe，2ER(a？2-a2)+ iκe，1Ep(a？1e－iδt－a1eiδt)(3.1.1) 上式右边第一项表示共振频率为ωk(k=1，2)的腔模的能量，其中Δ1=ω1－ωL，Δ2=ω2－ωR分别是腔？泵浦场之间的失谐量。第二项表示共振频率为ωm，有效质量为m的力学模式的能量。最后三项表示的是输入场与腔场之间的相互作用，其中EL、ER、Ep与施加激光功率之间的关系分别为EL=2PLκ1/ωL、EL=2PLκ1/ωL和EL=2PLκ1/ωL(κk=κi，k+κe，k表示的是第k个腔场的衰减率，其中κi，k和κe，k分别表示内在衰减率和外部衰减率)。此外，δ=ωp－ωL表示探测场和左泵浦场之间的失谐量。 图3.1.1两个光学腔a1、a2耦合于同一个机械振子b组成的双腔光力系统原理图。左侧的腔同时受到一束强的泵浦场EL和一束弱的探测场Ep驱动，而右侧的腔仅受到一束泵浦场ER的驱动 （请扫Ⅱ页二维码看彩图） 算符a1、a2和Q(定义为Q=b+b？)随时间演化的方程可以根据海森伯运动方程以及对易关系［ak，a？k］=1和［b，b？］=1得到。引入腔模和力学模式相应的衰减和噪声项，我们得到以下量子朗之万方程： a？1=－i(Δ1－g1Q)a1－κ1a1+κe，1(EL+Epe－iδt)+2κ1ain，1(3.1.2) a？2=－i(Δ2－g1Q)a2－κ2a2+κe，2ER+2κ2ain，2(3.1.3) Q¨+γmQ？+ω2mQ=2g1ωma+1a1+2g2ωma+2a2+ξ(3.1.4) 腔模受到平均值为零的输入真空噪声ain，k的影响，而衰减率为γm的力学模式受到平均值为零的布朗随机力ξ的影响［35］。 令方程(3.1.2)~方程(3.1.4)对时间求导为零，可以得到以下形式的稳态解： as，1=κe，1ELκ1+iΔ′1，as，2=κe，2ERκ2+iΔ′2，Qs=2ωm(g1|as，1|2+g2|as，2|2)(3.1.5) 式中，Δ′1=Δ1－g1Qs，Δ′2=Δ2－g2Qs分别是考虑辐射压效应后腔的有效失谐量。根据劳斯？赫尔维茨（Routh？Hurwitz）判据可以得到系统的稳定性条件［36］，形式通常比较复杂。但是，在光力协同性(cooperativity)比较大的极限下，稳定性条件可以近似表达为［37］ G～2>γmmaxκ1－κ2，κ22－κ212γm+κ1+κ2(3.1.6) 式中，G～≡G21－G22，≡(G21+G22)/［γm(κ1+κ2)］。腔内平均光子数npk=|as，k|2由以下两个方程决定： np1=κe，1E2Lκ21+［Δ1－2g1/ωm(g1np1+g2np2)］2(3.1.7) np2=κe，2E2Rκ22+［Δ2－2g2/ωm(g1np1+g2np2)］2(3.1.8) 这种形式的立方方程表明该系统中腔内光子数可出现光学双稳态［31，32］。从方程(3.1.7)和方程(3.1.8)可以看到腔内光子数np1和np2是相互关联的，可以通过改变泵浦场的功率和频率来改变EL、ER、Δ1和Δ2，这样可从多方面来控制腔内光子数。例如，可以通过改变右侧泵浦场功率直接控制右侧腔内光子数np2，也可以通过改变左侧泵浦场功率来间接改变右侧腔内光子数。 3.1.3结果和讨论 本节将具体的实验参数代入到腔内光子数满足的方程进行数值模拟，从而研究如何对光子数的双稳行为进行调控。用到的参数为［11］ω1=2π×205.3THz，ω2=2π×194.1THz，κ1=2π×520MHz，κ2=1.73GHz，κe，1=0.2κ1，κe，2=0.42κ2，g1=2π×960kHz，g2=2π×430kHz，ωm=2π×4GHz，Qm=87×103，其中Qm是机械振子的品质因数，机械振子的衰减率γm由ωm/Qm给出。将κ1、κ2和γm的具体数值代入到稳定性条件式(3.1.6)，我们发现当G1>1.36G2时系统是稳定的。以下所取的参数均满足稳定性条件。 图3.1.2(a) 左泵浦场功率PL分别等于0.1μW、2μW和3μW时(从下到上)左腔内的平均光子数随腔泵失谐量Δ1=ω1－ωL变化的曲线； (b) 左腔内平均光子数随左泵浦场功率PL变化的情况，其中右腔的失谐量为Δ1=Δ2=ωm，右侧的泵浦场功率保持为0.1μW （请扫Ⅱ页二维码看彩图） 此处考虑的双腔光力系统使得腔内光子数的双稳态行为具有更高的可控性。图3.1.2(a)绘制了左腔内的平均光子数在三个不同泵浦场功率作用下随左腔泵浦失谐量Δ1=ω1－ωL变化的曲线。当左泵浦的功率为PL=0.1μW时，曲线几乎为一个对称的洛伦兹曲线。然而，当功率增加到临界值以上时，系统便出现双稳态现象，如PL=2μW和PL=3μW的曲线所示，其最初的洛伦兹共振曲线变得不再对称。在这种情况下，腔内平均光子数的耦合三次方程(3.1.7)和方程(3.1.8)产生三个实根。优选和最小的根是稳定的，中间是最不稳定的，由图3.1.2(a)中的虚线表示。此外，我们可以看到，随着泵浦光束功率的 增加，需要更大的腔泵失谐量来观察光学双稳态现象。而腔内平均光子数由图3.1.2(b)所示的泵功率曲线也可以看出双稳态特性。这里，两个腔都被泵浦在各自的红边带，即Δ1=Δ2=ωm。考虑到左泵浦场功率逐渐从零增加； 腔内平均光子数n1最初位于稳定分支(对应于最小根)。当泵浦场功率PL增加到临界值时(约为27μW)，n1接近该曲线的末端。如果PL进一步增加，则n1跳跃到上分支并继续增加。如果PL减小，则腔内光子数沿着上支不断减小直到临界值。随着PL进一步减小，则光子数又跃迁到较低的稳定分支。 图3.1.3右腔内的平均光子数随左腔泵浦失谐量Δ1变化的曲线，而右腔泵浦失谐量分别输入为Δ2=ωm和Δ2=-ωm。左泵浦场功率PL=2μW，右泵浦场功率PR=0.1μW （请扫Ⅱ页二维码看彩图） 接下来我们主要通过控制左泵浦光束的频率和功率来研究右腔中的光学双稳行为。图3.1.3所示为以右腔内的平均光子数n2随左腔泵浦失谐量Δ1为变化的曲线。当左腔和机械振子之间的耦合关闭时，即g1=0时，双腔光力系统成为普通的单模腔光力学系统，在这种情况下左侧腔内泵浦驱动不会影响右侧腔内光子数。此时，如果对右腔的泵浦场施加红失谐驱动，则从图3.1.3的中间部分可以清楚地看出，当左腔泵失谐量Δ1改变时，腔内平均光子数n2保持恒定值。然而，如果左腔和机械振子之间的耦合打开，则右腔中的腔内平均光子数的双稳态行为将出现。当Δ2=ωm时，平均光子数大于之前的恒定值。然而，如果对右腔的泵浦场施加蓝失谐驱动，即Δ2=-ωm，则平均光子数小于上述常数值。因为当g1=0和Δ2=ωm时，混合系统转向普通的单模光力系统，腔内光子数、泵浦场功率PR和腔泵失谐量Δ22的平方直接相关。因此，当g1=0，PR=0.1μW，Δ2=±ωm时，光子数保持不变。然而，当g1≠0时，左腔中的腔内光子将对共同的机械振子以及右腔中的光子数有影响。当Δ2=ωm时，频率ωR－ωm处的高度非共振的斯托克斯散射被强烈抑制，此时仅存在于右腔内积聚在频率ωR+ωm处的反斯托克斯散射会导致泵上的光子以频率ω2转换到腔光子。因此，右腔中的平均光子数大于恒定值，而不受左腔的影响。所以，通过调节左腔泵浦光束失谐量Δ1，可以观察到右腔内的腔内光子数的双稳态。如图3.1.4所示，当Δ2=ωm和Δ2=-ωm时，右腔中的光学双稳态也可以从腔内平均光子数与左泵浦场功率的滞后回线中看出。在这里，我们将左腔泵浦束失谐量定为Δ1=ωm和PR=0.1μW。类似地，当Δ2=ωm时的腔内平均光子数大于当Δ2=-ωm时腔内的光子数。 在之前的讨论中，我们已经证实了两个腔中的光学双稳态，并且腔内平均光子数通常非常大，在右腔中至少有数千个光子(图3.1.3和图3.1.4)。单模光力系统(g2=0)将需要更多的光子在空腔中以达到双稳态(图3.1.2)。接下来，我们将展示双腔光力系统在极低的腔光子数下实现光学双稳态。 图3.1.4右腔内的平均光子数随左泵浦场功率变化的曲线，其中PR=0.1μW，(a)Δ2=ωm而(b)Δ2=-ωm。左腔泵失谐量Δ1始终等于ωm （请扫Ⅱ页二维码看彩图） 图3.1.5(a)和(b)所示分别是右腔中的平均光子数随左腔泵浦失谐量Δ1及左腔泵浦场功率PL变化的曲线。这里右泵浦光束的参数为PR=1pW，Δ2=ωm。由于泵浦场功率较低，右腔中的腔内光子数非常小，即n2≤1。通常，这种低光子数不能在空腔光力系统中出现双稳现象。然而，在这里考虑的双腔光力系统中，当左腔由强泵浦场驱动时，由于两个腔耦合到共同的纳米机械振子，光学双稳态仍然存在于右腔中。这个行为可以理解如下： 由左腔施加的辐射压力引起机械振子的振动，这改变了两个空腔的光路长度，从而产生 了腔场上的位置相移。低光子数的双稳态是由光子和声子之间的这种非线性反馈产生的。这种现象表示弱耦合状态下的强非线性效应，这是通过力学模式的长寿命和左腔上的强泵实现的。最近，吕（Lu）等［38］和库扎克（Kuzyk）等［39］的两个相关工作还表明，在弱耦合状态下，双腔光力系统可以获得强非线性。此外，双腔光力系统中腔内光子数的双稳行为可以用作一种可控的光开关，而右腔中光子数的两个稳定分支起着光学开关的作用。当左侧泵浦场的频率和功率固定时，通过控制右泵浦波束的频率和功率，可以很容易实现较低稳态的分支与较高稳态分支之间的切换。此外，左侧泵浦光束可用作控制参数以打开或关闭该开关。 图3.1.5右腔内的平均光子数随(a)左腔泵浦失谐量Δ1变化而PL=2μW； (b)左泵浦场功率PL变化而Δ1=ωm的曲线。其他参数为PR=1pW，Δ2=ωm （请扫Ⅱ页二维码看彩图） 3.1.4小结 本节研究了由两个光学腔通过辐射压力耦合于一个共同的机械振子形成的双腔光力系统中的光学双稳现象［40］。与通常的单模腔光力学系统相比，这里的双腔光力系统可以更加灵活地控制光学双稳态。其中一个腔中的平均腔内光子数可以通过另外一个腔的泵浦场的功率和频率进行控制。此外，在这个耦合系统中光学双稳态在腔内光子数非常低时依然可能存在。 参 考 文 献 ［1］KIPPENBERG T J，VAHALA K J. Cavity optomechanics: back？action at the mesoscale［J］. Science，2008，321: 1172. ［2］MARQUARDT F，GIRVIN S M. Optomechanics［J］. Physics，2009，2: 40. ［3］ASPELMEYER M，KIPPENBERG T J，MARQUARDT F. Cavity optomechanics［J］. Rev. Mod. Phys.，2014，86: 1391. ［4］TEUFEL J D，DONNER T，LI D，et al. Sideband cooling of micromechanical motion to the quantum ground state［J］.Nature，2011，475: 359. ［5］CHAN J，ALEGRE T P，SAFAVI？NAEINI A H，et al. Sideband cooling of micromechanical motion to the quantum ground state［J］. Nature，2011，478: 89. ［6］AGARWAL G S，HUANG S. Electromagnetically induced transparency in mechanical effects of light［J］. Phys. Rev. A，2010，81: 041803. ［7］WEIS S，RIVI？RE R，DEL？GLISE S，et al. Optomechanically induced transparency［J］. Science，2010，330: 1520. ［8］SAFAVI？NAEINI A H，ALEGRE T P M，CHAN J，et al. Electromagnetically induced transparency and slow light with optomechanics［J］. Nature，2011，472: 69. ［9］FIORE V，YANG Y，KUZYK M C，et al. Storing optical information as a mechanical excitation in a silica optomechanical resonator［J］. Phys. Rev. Lett.，2011，107: 133601. ［10］VERHAGEN E，DEL？GLISE S，WEIS S，et al. Quantum？coherent coupling of a mechanical oscillator to an optical cavity mode［J］. Nature，2012，482: 63. ［11］HILL J T，SAFAVI？NAEINI A H，CHAN J，et al. Coherent optical wavelength conversion via cavity optomechanics［J］. Nat. Commun.，2012，3: 1196. ［12］TIAN L，WANG H L. Optical wavelength conversion of quantum states with optomechanics［J］. Phys. Rev. A，2010，82: 053806. ［13］WANG Y D，CLERK A A. Using interference for high fidelity quantum state transfer in optomechanics［J］. Phys. Rev. Lett.，2012，108: 153603. ［14］TIAN L. Adiabatic state conversion and pulse transmission in optomechanical systems［J］. Phys. Rev. Lett.，2012，108: 153604. ［15］PALOMAKI T A，HARLOW J W，TEUFEL J D，et al. Coherent state transfer between itinerant microwave fields and a mechanical oscillator［J］. Nature，2013，495: 210. ［16］GR？BLACHER S，HAMMERER K，VANNER M R，et al. Observation of strong coupling between a micromechanical resonator and an optical cavity field［J］. Nature，2009，460: 724. ［17］TEUFEL J D，LI D，ALLMAN M S，et al. Circuit cavity electromechanics in the strong？coupling regime［J］. Nature，2011，471: 204. ［18］RABL P. Photon blockade effect in optomechanical systems［J］. Phys. Rev. Lett.，2011，107: 063601. ［19］NUNNENKAMP A，B？RKJE K，GIRVIN S M. Single？photon optomechanics［J］. Phys. Rev. Lett.，2011，107: 063602. ［20］LIAO J Q，CHEUNG H K，LAW C K. Spectrum of single？photon emission and scattering in cavity optomechanics［J］. Phys. Rev. A，2012，85: 025803. ［21］B？RKJE K，NUNNENKAMP A，TEUFEL J D，et al. Signatures of nonlinear cavity optomechanics in the weak coupling regime［J］. Phys. Rev. Lett.，2013，111: 053603. ［22］LEMONDE M A，DIDIER N，CLERK A A. Nonlinear interaction effects in a strongly driven optomechanical cavity［J］. Phys. Rev. Lett.，2013，111: 053602. ［23］KRONWALD A，MARQUARDT F. Optomechanically induced transparency in the nonlinear quantum regime［J］. Phys. Rev. Lett.，2013，111: 133601. ［24］HE B. Quantum optomechanics beyond linearization［J］. Phys. Rev. A，2012，85: 063820. ［25］LUDWIG M，SAFAVI？NAEINI A H，PAINTER O，et al. Enhanced quantum nonlinearities in a two？mode optomechanical system［J］. Phys. Rev. Lett.，2012，109: 063601. ［26］STANNIGEL K，KOMAR P，HABRAKEN S J M，et al. Optomechanical quantum information processing with photons and phonons［J］. Phys. Rev. Lett.，2012，109: 013603. ［27］K？M？R P，BENNETT S D，STANNIGEL K，et al. Single？photon nonlinearities in two？mode optomechanics［J］. Phys. Rev. A，2013，87: 013839. ［28］BRENNECKE F，RITTER S，DONNER T，et al. Cavity optomechanics with a Bose？Einstein condensate［J］. Science，2008，322: 235. ［29］ZHANG J M，CUI F C，ZHOU D L，et al. Nonlinear dynamics of a cigar？shaped Bose？Einstein condensate in an optical cavity［J］. Phys. Rev. A，2009，79: 033401. ［30］YANG S，AL？AMRI M，ZUBAIRY M S. Anomalous switching of optical bistability in a Bose？Einstein condensate［J］. Phys. Rev. A，2013，87: 033836. ［31］GUPTA S，MOORE K L，MURCH K W，et al. Cavity nonlinear optics at low photon numbers from collective atomic motion［J］. Phys. Rev. Lett.，2007，99: 213601. ［32］KANAMOTO R，MEYSTRE P. Optomechanics of a quantum？degenerate Fermi gas［J］. Phys. Rev. Lett.，2010，104: 063601. ［33］PURDY T P，BROOKS D W C，BOTTER T，et al. Tunable cavity optomechanics with ultracold atoms［J］. Phys. Rev. Lett.，2010，105: 133602. ［34］SETE E A，ELEUCH H. Controllable nonlinear effects in an optomechanical resonator containing a quantum well［J］. Phys. Rev. A，2012，85: 043824. ［35］GENES C，VITALI D，TOMBESI P，et al. Ground？state cooling of a micromechanical oscillator: comparing cold damping and cavity？assisted cooling schemes［J］. Phys. Rev. A，2008，77: 033804. ［36］DEJESUS E X，KAUFMAN C. Routh？Hurwitz criterion in the examination of eigenvalues of a system of nonlinear ordinary differential equations［J］. Phys. Rev. A，1987，35: 5288. ［37］WANG Y D，CLERK A A. Reservoir？engineered entanglement in optomechanical systems［J］. Phys. Rev. Lett.，2013，110: 253601. ［38］L？ X Y，ZHANG W M，ASHHAB S，et al. Quantum？criticality？induced strong Kerr nonlinearities in optomechanical systems［J］. Sci. Rep.，2013，3: 2943. ［39］KUZYK M C，ENK S J，WANG H L. Generating robust optical entanglement in weak？coupling optomechanical systems［J］. Phys. Rev. A，2013，88: 062341. ［40］JIANG C，LIU H X，CUI Y S，et al. Controllable optical bistability based on photons and phonons in a two？mode optomechanical system［J］. Phys. Rev. A，2013，88: 055801. 3.2二能级原子与腔场耦合的混杂光力系统中的 光学双稳态和动力学效应 3.2.1引言 腔光力学领域研究通过辐射压力产生的光与机械运动之间的非线性相互作用［1？3］。单光子耦合常数一般情况下较弱，但是相干地驱动腔场可以极大提高有效光力相互作用。在过去的十年里，像机械振子的基态冷却［4，5］、光力诱导透明［6？8］以及光学双稳态［9，10］等这样一些有意思的现象已经在驱动腔光力系统中被发现。然而，在强驱动情况下的光力相互作用变成线性的。因此，路德维希（Ludwig）和苏埃雷布（Xuereb）等作了相当大的努力来提高内在的非线性［11？16］。最近增加强非线性，例如一个量子两级体系，使得光力系统中的物理效应更加丰富［17？23］。谐振腔通过辐射压与一个机械振子耦合，并且通过J？C与一个二能级原子耦合，因此混杂系统结合了腔量子电动力学和腔光力学。假设原子始终处于它的激发态，王（Wang）等首次理论性地研究了透
