最后的数学问题

这既是一本经典的思想史巨著，又是一本妙趣横生的故事书，献给所有喜爱数学、历史和哲学的读者 畅销世界的数学哲学史经典著作，重装上市 《华盛顿邮报》当年图书，被译为全球8种语言 改编节目《伟大的数学问题》获得艾美奖提名 展现数学无处不在的非凡力量 科学和哲学巨匠们充满智慧的传奇故事，数学、物理、天文学和哲学的恢弘历史画卷 数学是人类的发明还是发现？ 数学貌似能解释宇宙万物，而这种无处不在、无所不能的威力究竟从何而来？ 从信奉“万物皆数”的毕达哥拉斯、刀斧之下依然从容演算的阿基米德，到探索宇宙奥秘的近代科学十足伽利略和剔除“我思，故我在”的解析几何之父笛卡尔，再到反对柏拉图主义的现代数学家阿蒂亚，数学思想在千百年来人类的深层思考中不断演变、一脉相承。这些伟大科学家的传奇经历、重要贡献及其在数学目前的远见卓识，绘成一幅斑斓的历史画卷，在作者的妙笔下缓缓舒展。 蜚声世界的科普作家马里奥·利维奥讲述了数学的演化过程，引经据典地从哲学、历史、文化角度全方位地探讨了数学的本质，解释了数学与物质世界、与人类思维之间的微妙关系，识图破解困惑了数代人类思想家的终极问题： 上帝是数学家吗？

数学是人类的发明还是发现？数学无处不在的威力从何而来？本书讲述了数学概念的演化过程，引经据典地从哲学、历史、文化角度全方位地探讨了数学的本质，揭示了数学与物质世界、与人类思维之间的微妙关系，讨论了困惑几代思想家的重大问题，并以通俗、曼妙的手笔讲述了从柏拉图、阿基米德、伽利略、笛卡尔等哲学和数学先贤到罗素、哥德尔等现代数学巨匠和科学家的生活经历与思想，是一本妙趣横生而又十分经典的数学思想史著作。、 适合所有对数学感兴趣的读者阅读

马里奥·利维奥（Mario Livio ），哈勃太空望远镜科学研究所的天体物理学家，科学和数学科普作家，美国科学促进协会会员，卡内基基金会“世纪教授”，皮亚诺奖和国际毕达哥拉斯数学畅销书奖得主。其众多数学和天体物理学领域的文章在《自然》《经济学人》《科学》等期刊上得到极高评价。

第 1 章  未解之谜 1 第 2 章  神秘学：命理学家和哲学家 16 第3 章  魔法师：大师和异端 47 第4 章  魔法师：怀疑论者和巨人 101 第5 章  统计学家和概率学家：不确定的科学 139 第6 章  几何学家：未来的冲击 177 第7 章  逻辑学家：思考推理的人 201 第8 章  无理由的有效性？ 236 第9 章  人类大脑中的数学和宇宙 262 注释 293 参考文献 313 图片版权 333

    第1章 未解之谜
     几年前，我在美国康奈尔大学做过一个演讲。当时，我的一张幻灯片的标题是：“上帝是数学家吗？”当这张幻灯片放出来时，我听到坐在前排的一位学生倒吸了一口凉气，说：“哦，天啊，我希望不是如此。”
     我之所以提出这个问题，既不是因为我打算从哲学上定义上帝，也不是因为我有意吓唬那些害怕数学的人。我只是想向听众介绍一个让众多最富创新的大脑苦苦思索了几个世纪的谜团――数学“无所不在、无所不能”的力量，而这类特征通常只有在人们描述一位神明时才会用到。正如英国物理学家詹姆斯？金斯（James Jeans，1877-1946）所说：“宇宙看上去是由一位理论数学家设计的。”数学貌似不仅在描述和解释整个宇宙时太过有效，甚至在描述和解释一些最混沌的人类活动时也是如此。
     不论是物理学家试图构造种种关于宇宙的理论，证券分析师绞尽脑汁预测下一次股价暴跌的时间，神经生物学家尝试为脑功能建模，还是军事情报统计师力图优化资源配置，他们都要使用数学。此外，尽管他们应用的可能是从不同数学分支发展出来的形式体系，但他们仍然仰赖的是同一个完整、内在一致的数学。那么，是什么赋予了数学如此惊人的威力？或者，正如爱因斯坦曾好奇地发问：“数学，这个独立于经验的人类思维的产物，为何能如此完美地符合物理实在中的对象？”
     这样的困惑古已有之。一些古希腊哲学家，特别是毕达哥拉斯和柏拉图，早就惊叹于数学塑造并支配宇宙的不言而喻的能力，同时意识到，数学的存在貌似无法被人类所改变、引导或影响。英国政治哲学家托马斯？霍布斯（ThomasHobbes，1588-1679）也无法掩饰自己的崇敬之情。在讨论社会和政府基础的《利维坦》一书中，他将几何学作为理性论证的典范：
     “既然真理存在于由各种名称正确排序后所组成的断言中，那么追求严谨真理的人就需要记住他所使用的每个名称的含义，并把它们放于相应的地方，否则他会发现自己困于文字的纠缠中，就好像一只被抹了胶的树枝粘住的小鸟，越挣扎越不能自拔。因此，在几何学（这是迄今为止专享令上帝满意并恩赐给人类的学问）中，人们首先确定名称的含义（他们把确定含义称为‘定义’），并把它们作为认知的起点。”
     上千年来，令人印象深刻的数学研究和广博的哲学思考都没有真正解释清楚数学力量的奥秘，甚至可以说，在某种意义上，数学的这种神秘感又加剧了。比如，有名的英国牛津大学数学物理学家罗杰？彭罗斯（Roger Penrose）意识到，人类周围不仅有一个世界，而应该有三个神秘世界。按彭罗斯的划分，这三个世界是：意识感知的世界、物理现实的世界和数学形式的柏拉图世界。第一个世界是我们所有精神影像的家园，包括我们看到自己孩子笑脸时的欢欣愉悦，欣赏落日余晖壮美景色时的心旷神怡，或者观察怵目惊心的战争场面时的恐惧和憎恶。在这个世界中还包括爱、忌妒、偏见、害怕，以及我们欣赏音乐、闻到美食时的感觉。第二个世界就是我们日常所提到的物理现实世界，包括鲜花、阿司匹林药片、白云、喷气式飞机，还有星系、行星、原子、狒狒的心脏和人类的大脑，这些真实存在的东西构成了这个世界。第三个世界是数学形式的柏拉图世界。这里是数学的家园，对彭罗斯而言，这个世界和精神世界与物理世界一样，也是真实存在的，在其中有自然数1，2，3，4，…，欧几里得几何学中的所有图形和定理，牛顿运动定律、弦论、突变论以及研究股票市场行为的数学模型等。彭罗斯还观察到了这三个世界之间神秘相连的三种现象。首先，物理世界的运行似乎遵循着一定的法则，而这些法则真实存在于数学世界中。这也令爱因斯坦感到困惑。诺贝尔物理学奖得主尤金？维格纳（Eugene Wigner，1902-1995）也有同样的疑惑：
     “数学语言适于表达物理法则，这种奇迹是上天赐予我们的绝妙礼物。事实上，我们并未真正理解这份礼物，同时也受之有愧。我们应当感谢这份礼物，希望它在未来的研究中仍然有效，而且可以给予我们欢乐，抑或困惑――无论是好还是坏――以及广泛的学问。”
     P1-3