实分析(原书第4版)

 

本书是一部实分析方面的经典教材，主要分三部分，第一部分为一元实变量函数的Lebesgue积分，第二部分为抽象空间（包括度量空间、拓扑空间、Banach空间和Hilbert空间），第三部分为一般测度与积分理论。此外，书中每节后都提供了大量习题，这些习题的解答基本上不涉及艰深的技巧，主要用来帮助读者更好地理解书中的内容。
本书内容丰富，涵盖了实分析、泛函分析的几乎所有基础性内容，叙述非常清晰、流畅且富有启发性，适合作为髙等院校相关专业学生实分析课程的教材。

译者序
前言
第一部分一元实变量函数的Lebesgue积分
第0章集合、映射与关系的预备知识2
0.1集合的并与交2
0.2集合间的映射3
0.3等价关系、选择公理以及Zorn引理3
第1章实数集：集合、序列与函数6
1.1域、正性以及完备性公理6
1.2自然数与有理数9
1.3可数集与不可数集11
1.4实数的开集、闭集和Borel集13
1.5实数序列17
1.6实变量的连续实值函数21
第2章Lebesgue测度25
2.1引言25
2.2Lebesgue外测度26
2.3Lebesgue可测集的σ代数29
2.4Lebesgue可测集的外逼近和内逼近33
2.5可数可加性、连续性以及Borel-Cantelli引理36
2.6不可测集39
2.7Cantor集和Cantor-Lebesgue函数41
第3章Lebesgue可测函数45
3.1和、积与复合45
3.2序列的逐点极限与简单逼近49
3.3Littlewood的三个原理、Egoroff定理以及Lusin定理53
第4章Lebesgue积分56
4.1Riemann积分56
4.2有限测度集上的有界可测函数的Lebesgue积分58
4.3非负可测函数的Lebesgue积分65
4.4一般的Lebesgue积分71
4.5积分的可数可加性与连续性75
4.6一致可积性：Vitali收敛定理77
第5章Lebesgue积分：深入课题81
5.1一致可积性和紧性：一般的Vitali收敛定理81
5.2依测度收敛83
5.3Riemann可积与Lebesgue可积的刻画85
第6章微分与积分89
6.1单调函数的连续性89
6.2单调函数的可微性：Lebesgue定理91
6.3有界变差函数：Jordan定理96
6.4绝对连续函数99
6.5导数的积分：微分不定积分103
6.6凸函数108
第7章Lp空间：完备性与逼近112
7.1赋范线性空间112
7.2Young、Hlder与Minkowski不等式115
7.3Lp是完备的：Riesz-Fischer定理119
7.4逼近与可分性124
第8章Lp空间：对偶与弱收敛128
8.1关于Lp（1≤p＜∞）的对偶的Riesz表示定理128
8.2Lp中的弱序列收敛134
8.3弱序列紧性141
8.4凸泛函的最小化144
第二部分抽象空间：度量空间、拓扑空间、Banach空间和Hilbert空间
第9章度量空间：一般性质152
9.1度量空间的例子152
9.2开集、闭集以及收敛序列155
9.3度量空间之间的连续映射158
9.4完备度量空间160
9.5紧度量空间164
9.6可分度量空间169
第10章度量空间：三个基本定理171
10.1Arzel-Ascoli定理171
10.2Baire范畴定理175
10.3Banach压缩原理178
第11章拓扑空间：一般性质183
11.1开集、闭集、基和子基183
11.2分离性质186
11.3可数性与可分性188
11.4拓扑空间之间的连续映射189
11.5紧拓扑空间192
11.6连通的拓扑空间195
第12章拓扑空间：三个基本定理197
12.1Urysohn引理和Tietze延拓定理197
12.2Tychonoff乘积定理201
12.3Stone-Weierstrass定理204
第13章Banach空间之间的连续线性算子209
13.1赋范线性空间209
13.2线性算子211
13.3紧性丧失：无穷维赋范线性空间214
13.4开映射与闭图像定理217
13.5一致有界原理222
第14章赋范线性空间的对偶224
14.1线性泛函、有界线性泛函以及弱拓扑224
14.2Hahn-Banach定理229
14.3自反Banach空间与弱序列收敛性234
14.4局部凸拓扑向量空间237
14.5凸集的分离与Ｍazur定理240
14.6Krein-Milman定理244
第15章重新得到紧性：弱拓扑247
15.1Helly定理的Alaoglu推广247
15.2自反性与弱紧性：Kakutani定理249
15.3紧性与弱序列紧性：Eberlein-mulian定理250
15.4弱拓扑的度量化252
第16章Hilbert空间上的连续线性算子255
16.1内积和正交性255
16.2对偶空间和弱序列收敛259
16.3Bessel不等式与规范正交基261
16.4线性算子的伴随与对称性264
16.5紧算子268
16.6Hilbert-Schmidt定理270
16.7Riesz-Schauder定理：Fredholm算子的刻画273
第三部分测度与积分：一般理论
第17章一般测度空间：性质与构造280
17.1测度与可测集280
17.2带号测度：Hahn与Jordan分解284
17.3外测度诱导的Carathéodory测度288
17.4外测度的构造291
17.5将预测度延拓为测度：Carathéodory-Hahn定理293
第18章一般测度空间上的积分299
18.1可测函数299
18.2非负可测函数的积分304
18.3一般可测函数的积分310
18.4Radon-Nikodym定理317
18.5Nikodym度量空间：Vitali-Hahn-Saks定理323
第19章一般的Lp空间：完备性、对偶性和弱收敛性328
19.1Lp(X,μ)（１≤ｐ≤∞）的完备性328
19.2关于Lp(X,μ)（1≤ｐ<∞）的对偶的Riesz表示定理333
19.3关于L∞(X,μ)的对偶的Kantorovitch表示定理336
19.4Lp(X,μ)（１＜ｐ＜∞）的弱序列紧性339
19.5L1(X,μ)的弱序列紧性：Dunford-Pettis定理341
第20章特定测度的构造346
20.1乘积测度：Fubini与Tonelli定理346
20.2欧氏空间Rn上的Ｌebesgue测度354
20.3累积分布函数与Borel测度364
20.4度量空间上的Carathéodory外测度与Hausdorff测度367
第21章测度与拓扑372
21.1局部紧拓扑空间372
21.2集合分离与函数延拓376
21.3Radon测度的构造378
21.4Cc(X)上的正线性泛函的表示：Riesz-Markov定理381
21.5C（X）的对偶的表示：Riesz-Kakutani表示定理385
21.6Baire测度的正则性391
第22章不变测度397
22.1拓扑群：一般线性群397
22.2Kakutani不动点定理399
22.3紧群上的不变Borel测度：von Neumann定理403
22.4测度保持变换与遍历性：Bogoliubov-Krilov定理406
参考文献412
索引414