高维系统稳定性的几何判据

本书专注于利用几何方法来解决高维系统稳定性问题。系统地介绍了稳定性的基本概念以及一些公开问题;判定全局稳定性的Lyapunov-LaSalle稳定性定理；由Li和Muldowney所创立的基于高维Bendixson准则判定稳定性的几何方法；此外，还包括最近作者在Li和Muldowney几何方法的基础上，所改进的基于时间平均的稳定性的几何判据，以及利用此判据，来解决传染病和种群动力学中的涉及到的一些稳定性问题，接近地解决了Zeenman猜想，vandenDriessche-Zeeman猜想；在三维竞争情形，证明了Hofbauer-Sigmund猜想；接近解决了SEIRS型传染病模型中的Liu-Hethcote-Levin猜想等.

前言
第1章 高维系统的稳定性问题
1.1 种群与传染病动力学中的微分方程模型
1.2 稳定性的概念
1.3 问题的阐述
附录
第2章 预备知识
2.1 向量与矩阵范数
2.1.1 赋范线性空间
2.1.2 诱导范数
2.1.3 矩阵的Lozinskii测度
2.2 函数的半连续性
2.3 Dini导数与函数的单调性
2.3.1 Dini导数的概念
2.3.2 连续单调函数与Dini导数
2.3.3 半连续单调函数与Dini导数
2.4 Gronwall-Bellman不等式
2.4.1 纯量函数型
2.4.2 向量函数型
2.5 外代数
2.5.1 对偶空间
2.5.2 多重线性函数
2.5.3 张量积
2.5.4 交错张量与k-形式
2.6 微分形式
2.6.1 切空间与余切空间
2.6.2 微分形式与外微分（导数）
2.6.3 Lie导数
2.6.4 k-形式上的积分
2.6.5 外微分的应用
2.7 复合矩阵及其性质
第3章 线性系统的稳定性
3.1 解的结构
3.2 线性系统稳定性的概念
3.3 Lappo-Danilevskii系统的稳定性
3.4 扰动系统的稳定性
3.5 解的指数估计
3.6 线性周期系数系统
第4章 Lyapunov-LaSalle稳定性定理
4.1 线性化方法――Lyapunov间接法
4.2 Lyapunov稳定性定理
4.3 LaSalle不变性原理
4.3.1 极限集及其性质
4.3.2 半动力系统的持久生存
4.3.3 Krasovskii-Barbasin定理
4.3.4 LaSalle不变性原理
4.4 经典Lyapunov函数的构造
4.4.1 常系数线性系统的Barbasin分式
4.4.2 二次型方法的推广
4.4.3 变梯度法
第5章 轨道渐近稳定与全局渐近稳定
5.1 轨道稳定性概念
5.2 基于Poincare-Bendixson性质的全局稳定性判定
5.3 例题分析
第6章 Bendixson准则与全局稳定性
6.1 Bendixson准则
6.1.1 平面系统的Bendixson-Dulac准则
6.1.2 Butler-Schmid-Waltman判据
6.1.3 Busenberg Driessche准则
6.1.4 Li-Muldowney准则
6.1.5 Leonov-Boichenko准则
6.1.6 Bendixson准则的一些推广
6.2 全局渐近稳定性的一般原理
6.3 全局渐近稳定性的几何准则
6.4 不变流形系统的稳定性
第7章 Gompterz模型的稳定性问题
7.1 Gompterz模型的建立
7.2 Gompterz三维竞争模型的分类
7.3 Gompterz模型的全局稳定性
7.4 Jiang-Niu-Zhu的公开问题的解答
第8章 传染病模型的全局稳定性
8.1 Lyapunov函数与全局稳定性的判定
8.1.1 SIR传染病模型的全局稳定性
8.1.2 SIRS传染病模型的全局稳定性
8.1.3 SEIR传染病模型的全局稳定性
8.2 Li-Muldowney几何判据与全局稳定性
8.2.1 具有常数迁入的SEIRS模型
8.2.2 总人口变动的SEIRS模型
8.3 一些公开问题的解答
8.3.1 Liu-Hethcote-Levin猜想
8.3.2 Li-Graef-Wang-Karsai问题
8.4 具短暂免疫与总人口变动的SEIRS模型
第9章 Lotka-Volterra模型的全局稳定性
9.1 单调性原理与全局稳定性的判定
9.1.1 合作系统的单调性定理
9.1.2 K-单调系统的单调性定理
9.1.3 拟单调系统的单调性定理
9.1.4 离散扩散Lotka-Volterra系统的全局稳定性
附录
9.2 Lyapunov函数的构造与全局稳定性的判定
9.2.1 Volterra的Lyapunov函数
9.2.2 Chenciner的Lyapunov函数
9.2.3 MacArthur的Lyapunov函数
9.2.4 对角占优矩阵
9.3 Li-Muldowney几何方法与全局稳定性的判定
9.4 一些公开问题的解答
9.4.1 Wolkowicz问题
9.4.2 Zeemans猜想
9.4.3 Driessche-Zeeman猜想
9.4.4 Hofbauer-Sigmund猜想
9.4.5 Li-Wang猜想
参考文献