调频小波与量子小波/小波与量子小波(第3卷)

本书是《小波与量子小波》（共三卷）的第三卷，内容包括线性调频小波理论及其构造理论，量子力学与量子态小波，量子计算与量子比特小波理论，以及关于小波理论的291个练习题。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。

目录
第二卷 调频小波与量子小波
前言
第9章 线性调频小波理论 1
9.1 对角化傅里叶变换与调频小波 2
9.1.1 傅里叶积分变换及其对角化 2
9.1.2 线性调频小波函数 7
9.2 傅里叶变换与调频小波理论 12
9.2.1 傅里叶变换及其特征性质 12
9.2.2 经典线性调频小波及多样性 20
9.2.3 组合线性调频小波及多样性 34
9.3 任意项数组合线性调频小波理论 53
9.3.1 4倍组合线性调频小波 53
9.3.2 多项组合线性调频小波理论 78
9.3.3 双重组合线性调频小波理论 111
9.3.4 藕合线性调频小波理论 155
9.3.5 藕合线性调频小波理论的评述 165
参考文献 165
0章 量子小波理论 171
10.1 量子小波导言 171
10.2 量子力学与量子态小波 173
10.2.1 量子态小波雏形 174
10.2.2 现代量子态小波 179
10.3 量子计算与量子比特西算子 201
10.3.1 引言 201
10.3.2 广义克罗内克乘$l 204
10.3.3 广义克氏乘积的量子计算 210
10.3.4 群论方法与量子傅里叶算子 215
10.3.5 循环群量子傅里叶算子 217
10.3.6 群表示与量子傅里叶变换 221
10.3.7 量子纠错与量子傅里叶变换 230
10.3.8 西算子的量子计算讨论 233
10.4 量子比特小波 234
10.4.1 量子比特小波与量子线路 235
10.4.2 置换矩阵量子计算网络 239
10.4.3 量子比特小波算法 248
10.4.4 Daubechies'J、波的高效量子计算 254
10.4.5 量子小波算法注释 264
参考文献 265
小波与量子小波习题 272
习题1.1 傅里叶级数及相关性质 272
习题1.2 傅里叶变换及相关性质 273
习题1.3 有限或离散傅里叶变换的性质 274
习题1.4 多分辨率分析的尺度空间和尺度函数 277
习题1.5 多分辨率分析小波空间和小波函数 279
习题1.6 多分辨率分析小波函数和尺度函数 282
小波与量子小波习题二 286
习题2.1 正交小波充分条件 286
习题2.2 正交小波充要条件 288
习题2.3 正交镜像带通滤波器构造 288
习题2.4 正交镜像滤波器组脉冲响应的关系 289
习题2.5 正交小波频域构造 289
习题2.6 正交小波时域构造 289
习题2.7 带通滤波器构造 289
习题2.8 正交镜像滤波器组脉冲响应的关系 290
习题2.9 正交小波频域构造多样性 290
习题2.10 正交小波时域构造多样性 290
习题2.11 Shannon多分辨率分析和他annon小波 291
习题2.12 时频分析与测不准原理 299
习题2.13 小波时频特性与测不准原理 302
习题2.14 小波、小波包与测不准原理的关系 307
小波与量子小波习题三 308
习题3.1 小波Mallat算法基础 308
习题3.2 尺度方程和小波方程的逆 312
习题3.3 尺度子空间的两类规范正交基 312
习题3.4 函数正交投影坐标变换 314
习题3.5 尺度投影与小波投影的正交性 315
习题3.6 小波分解勾股定理 315
习题3.7 函数与正交投影坐标小波链 315
习题3.8 有限维空间小波Mallat算法基础 321
习题3.9 多分辨率分析小波包理论 321
习题3.10 空间和函数的正交分解小被包 350
习题3.11 小波包方程的逆 3妇
习题3.12 规范正交基小波包链 354
习题3.13 函数投影坐标小波包链 355
习题3.14 小波包矩阵合成正交性 356
习题3.15 小波包矩阵合成勾股定理 356
习题3.16 小波包金字塔 357
习题3.17 有限维空间小波包金字塔 366
小波与量子小波习题四 378
习题4.1 工维多分辨率分析构造 378
习题4.2 图像尺度子空间的规范正交基 380
习题4.3 图像小波子空间构造 380
习题4.4 图像小波子空间列的正交性 381
习题4.5 当图像尺度方程和图像小波方程 381
习题4.6 图像尺度函数和图像小波函数正交性 382
习题4.7 图像尺度子空间的正交直和分解 382
习题4.8 图像尺度子空间的规范正交基 382
习题4.9 图像尺度子空间的接近小波子空间分解 383
习题4.10 图像尺度子空间的小波规范正交基 383
习题4.11 图像空间的混合正交直和分解 383
习题4.12 图像空间的混合规范正交基 383
习题4.13 图像空间的正交小波子空间分解 383
习题4.14 图像空间的正交小波规范正交基 383
习题4.15 图像小波包理论 384
习题4.16 图像正交投影及勾股定理 386
习题4.17 图像小波链正交投影 387
习题4.18 图像小波链勾股定理 387
习题4.19 图像小波链投影正交级数 387
习题4.20 图像小波链投影勾股定理 388
习题4.21 图像小波投影坐标变换 388
习题4.22 图像小波投影及其正交性 389
习题4.23 图像小波包投影及其正交级数表示 392
习题4.24 图像小波包分解及其正交性 393
习题4.25 图像小波包分解与合成算法 393
习题4.26 图像尺度方程和小波方程的逆 396
习题4.27 超级数字图像的小波分解 396
习题4.28 超级数字图像的小波合成 397
习题4.29 超级数字图像的小波包分解与合成 398
习题4.30 有限数字图像的小波分解与合成 398
习题4.31 超级数字图像小波链 402
习题4.32 图像小波矩阵链 403
习题4.33 刃有限数字图像小波链 410
习题4.34 图像小波包金字塔 417
习题4.35 有限数字图像小波包金字塔 434
卷 小波简史与小波基础理论
章 小波与小波简史
第2章 线性算子与狄拉克符号体系
第3章 小波基本理论
第4章 多分辨率分析与小波
第5章 小波链理论与小波包理论
第二卷 圈像小波与小波应用
第6章 固像小波与图像小波包理论
第7章 多分辨率分析理论应用
第8章 小波理论与应用

    第9章 线性调频小波理论
    线性调频小波函数很早出现在Namias(1980a，1980b)建立的“分数阶傅里叶变换(the fractional order Fourier transform)算子”中，具体方式是作为这种线性积分变换算子的(变换)核函数.利用这些算子能够建立一种简便方法，便于求解出现在经典二次哈密顿(量)函数量子力学系统中的常微分方程和偏微分方程.线性调频小波在自由和受限量子力学调和振荡器研究中的应用实例详细说明了如何使用这类线性变换算子.除此之外，这种变换算子在三维函数空间的普遍形式被用于研究定磁场电子运动量子力学特征(电动力学特征)，建立在通用算子演算规则上的线性调频小波变换算子可以十分方便地刻画定态、能量跃迁态和初始波包的演化过程，以及求解刻画时变磁场电子量子动力学的具有时间依赖系数的二阶偏微分方程.这些成果意味着这类变换算子理论将会被广泛用于科学技术研究的各个领域.
    在此之前，Weyl(1927)和Wiener(1929)研究揭示埃尔米特(Hermite)多项式、埃尔米特-高斯(Hermite-Gauss)正交函数系以及傅里叶变换特征值问题之间的关联关系，在群论与量子力学研究过程中，他们虽然没有命名这种积分变换算子，但确实把与傅里叶变换特征性质相关的一些重要成果推广到了这种积分变换算子类中.
    Condon(1937)通过把傅里叶变换算子嵌入函数变换连续群的方式建立了傅里叶变换的一种推广形式，此后Kober(1939)、Bargmann(1961)和Wolf(1979)在构造各种各样的积分变换和正则变换的过程中，都涉及或初步建立了很好接近线性调频小波变换的线性积分变换算子，这些在早期研究中初步显现出线性调频小波函数的雏形.
    McBride和Kerr(1987)统一刻画了此前文献中出现的多种分数阶傅里叶变换算子的积分核函数，这些核函数就是以变换幂次作为参数的线性调频函数，正因为这样，这类线性变换的核函数被称为线性调频小波函数，相应的线性变换或积分变换被称为线性调频小波变换.Lohmam(1993)发现并证明在维格纳(Wigner，1932)分布时频平面上线性调频小波变换与平面旋转算子是等价的，从而开启了线性调频小波和线性调频小波变换在光学和光学工程、信号处理和图像信息安全等学科领域的研究和应用.
    Almeida(1994)在线性调频小波函数基础上建立了线性调频小波变换的时移、频移以及尺度性质，奠定了线性调频小波在滤波器设计以及信号滤波理论中应用的方法基础，从此开启了线性调频小波和线性调频小波变换在信号很优滤波、雷达信号识别等领域的研究和应用.
    此后相继出现了以一些线性调频小波函数有限项级数和为核函数的线性积分变换算子，开启了以“组合线性调频小波函数系”为规范正交基函数的时代，为函数空间L2(R)以及其中函数的表达和研究提供大量的形式统一而且转换关系简单的规范正交基，取得了丰硕的理论和应用研究成果，为线性调频小波理论在图像信息安全和光信息安全等研究领域的应用奠定了坚实的理论基础.
    本章的主要研究内容包括采用两种接近不同的理论方法建立线性调频小波理论，即对角化傅里叶积分变换算子的特征化方法和以简单线性调频函数有限项级数和为核函数的“组合和/或耦合线性调频小波”构造方法.
    在这里特别说明，为了行文简便只在本章范围内，将函数空间L2(R)的规范正交傅里叶变换基选择为，这和全书除本章之外的其他各章略有不同.
    9.1 对角化傅里叶变换与调频小波
    自从Weyl(1927)和Wiener(1929)研究并获得Hermite多项式、Hermite-Gauss正交函数系与傅里叶变换特征值问题之间的关联关系之后，傅里叶变换算子的特征值问题得到了广泛深入的研究，由傅里叶积分变换算子特征值的本质多重性决定的规范正交特征函数系的多样性以及多样性的刻画得到了充分表达，这些研究成果奠定了线性调频小波函数构造的特征化方法的理论基础.
    9.1.1 傅里叶积分变换及其对角化
    (α)傅里叶变换
    在非周期能量有限信号空间或平方可积函数空间L2(R)中，考虑傅里叶变换基，它是L2(R)的规范正交基.
    任意f(x)∈L2(R)在平凡规范正交基{δ(x.ω);ω∈R}下的“坐标”写成
    它在这个平凡规范正交基下的表示为
    定义Y:将L2(R)的平凡规范正交基{δ(x.ω);ω∈R}变换为
    规范正交基如下:
    于是f(x)在傅里叶变换基ωε=ω∈R之下的“坐标”为
    此即f(x)的傅里叶变换F(ω)在傅里叶变换基
    可以表示为
    这正好是F(ω)的傅里叶逆变换f(x).
    (β)傅里叶变换的酉性任意f(x)∈L2(R)，其傅里叶变换是一个酉变换，即任给f(x)，g(x)∈L2(R)，Parseval恒等式或Plancherel能量守恒定理成立:
     (γ)Hermite-Gauss函数系
    规范正交的Hermite-Gauss函数系定义如下:
     (δ)傅里叶变换算子的规范正交特征函数系
    将傅里叶变换算子Y:L2(R)→L2(R)表示如下:
    容易验证傅里叶变换算子Y具有如下特征关系:
    即Hermite-Gauss函数系{();}n.xn∈N是傅里叶变换算子Y的规范正交特征函数系，而是傅里叶变换算子的特征值序列.
    可以证明，{();}n.xn∈N是函数空间L2(R)的规范正交基.
    (ε)傅里叶变换算子的对角化形式
    利用傅里叶积分变换算子Y:L2(R)→L2(R)的接近规范正交特征函数系构成的函数空间L2(R)的规范正交基，可以把傅里叶变换算子表示为对角化的形式.
    函数空间L2(R)上的任何函数f(x)具有如下形式的级数展开: