数学写真集(第4季):直观思考的进阶

本书由近百个“无字证明”组成。无字证明（Proofs Without Words）也叫作“无需语言的证明”，一般是指仅用图像而无需语言解释就能不证自明的数学结论。无字证明往往是指一个特定的图片，有时也配有少量解释说明。本书正是因为图片丰富而趣味十足，所以取名为数学写真集。本书是数学爱好者的休闲读物，也是中学生和大学生的课外参考书，还是数学教师的教学素材。This work was originally published in English under the title, Proofs Without Words, III: Further Exercises in Visual Thinking.©2015 held by the American Mathematical Society. All rights reserved. The present translation was created by China Machine Press under authority of the American Mathematical Society and is published by permission. 北京市版权局著作权登记 图字：01-2016-8122号。

目录前言几何与代数1毕达哥拉斯定理ⅩⅢ3毕达哥拉斯定理ⅩⅣ4毕达哥拉斯定理ⅩⅤ5毕达哥拉斯定理ⅩⅥ6毕达哥拉斯定理的帕普斯推广7毕达哥拉斯定理的倒数形式8一个类似于毕达哥拉斯定理的定理9四个类似于毕达哥拉斯定理的定理10直角梯形的毕达哥拉斯定理14缺角矩形的毕达哥拉斯定理15海伦公式16每个三角形有无穷多个内接等边三角形17每个三角形可以被分割成6个等腰三角形18更多的等腰分割19维维安尼定理Ⅱ20维维安尼定理Ⅲ21托勒密定理Ⅰ22托勒密定理Ⅱ23平行四边形分割中的相等面积24内部正方形的面积25平行四边形定律26借助平行四边形定律得到三角形中线长公式27两个正方形和两个三角形28等边三角形内切圆半径29通过三角形内心的直线30三角形的面积和外接圆的半径31外围三角形之外32和为45°的角33三等分线段Ⅱ34面积和恒定的两个正方形35面积和恒定的四个正方形36圆里和半圆里的正方形38圣诞树问题39“鞋匠之刀”的面积40“盐窖”的面积41直角三角形的面积42正十二边形的面积Ⅱ43四个月牙形的面积之和等于一个正方形的面积44月牙形和正六边形45三棱锥的体积46代数式的面积Ⅳ47合比与分比——一个关于比例的定理48配成接近平方Ⅱ49坎迪多恒等式50三角、微积分与解析几何51两角和或差的正弦（通过正弦定理证明）53两角差的余弦Ⅰ54两角和的正弦Ⅳ以及两角差的余弦Ⅱ55二倍角公式Ⅳ56欧拉正切半角公式57三倍角的正弦、余弦公式Ⅰ58三倍角的正弦、余弦公式Ⅱ5915°角和75°角的三角函数6018°角及其整倍数的三角函数61莫尔韦德等式Ⅱ62一般三角形中的牛顿公式63三角形的一个正弦恒等式64正余函数之和65正切定理Ⅰ66正切定理Ⅱ67想找x+y=xy的一组解？68secx+tanx的一个恒等式69正切乘积的和70三个正切的和与积71正切的乘积72反正切的和Ⅱ73一个图形，五个反正切恒等式74赫顿和斯特拉尼斯基公式75一个反正切恒等式76欧拉反正切恒等式77函数acost+bsint的极值78最小面积问题79正弦的导数80正切的导数81一个极限的几何求值Ⅱ82一个数及其倒数的对数83单位双曲线围出的等面积区域84魏尔斯特拉斯替换法Ⅱ85看，无需换元！86自然对数的积分87cos2θ和sec2θ的积分88一个部分分式分解89积分变换90不等式91算术平均-几何平均不等式Ⅶ93算术平均-几何平均不等式Ⅷ（通过三角函数证明）94算术平均-平方平均不等式95柯西-施瓦茨不等式Ⅱ（用帕普斯定理*）96柯西-施瓦茨不等式Ⅲ97柯西-施瓦茨不等式Ⅳ98柯西-施瓦茨不等式Ⅴ99关于直角三角形各种半径的不等式100托勒密不等式101代数不等式Ⅰ102代数不等式Ⅱ103正弦在［0，π］上的次可加性104正切在［0，π/2）上的超可加性105和为1的两个数的不等式106帕多阿不等式107与e有关的斯坦纳问题108辛普森悖论109马尔可夫不等式110整数与整数求和111奇数和Ⅳ113奇数和Ⅴ114奇数的交错和115平方和Ⅹ116平方和Ⅺ117连续平方数的交错和118奇数平方的交错和119阿基米德平方和公式120通过数三角形计算平方和121平方数模3122二阶阶乘的和123把立方数表示为二重求和124把立方数表示为等差数列的和125立方和Ⅷ126连续立方数的差模6余1127斐波那契恒等式Ⅱ128斐波那契地砖129斐波那契梯形130斐波那契三角形和梯形131斐波那契数的平方与立方132每个八边形数是两个平方数的差1332的幂1344的幂的和135通过自相似证明n的连续幂的和136每个大于1的四次幂都等于两个不连续三角形数的和137三角形数的和Ⅴ138三角形数的交错和Ⅱ139一串又一串的三角形数140每第三个三角形数的和141隔项奇数和与三角形数的和142三角形数是二项式系数143关于三角形数的容斥公式144分拆三角形数145三角形数恒等式Ⅱ146三角形数的一个和式147带权重的三角形数的和148中心三角形数149雅各布斯塔尔数150无穷级数及其他议题151几何级数V153几何级数Ⅵ154几何级数Ⅶ（通过直角三角形证明）155几何级数Ⅷ156几何级数Ⅸ157几何级数的导数Ⅱ158几何裂项159交错级数Ⅱ160交错级数Ⅲ161交错级数审敛法162交错调和级数Ⅱ163伽利略比值Ⅱ164把筝形裁成扇形165非负整数解与三角形数166分割蛋糕167可重复的无序选择的数目168一道普特南数学竞赛题的无字证明169毕达哥拉斯三元组170毕达哥拉斯四元组1712的无理性172Z×Z是可数集173前n个整数的图论式求和174二项式系数的图论式分解175（0，1）和［0，1］有相同的势176不动点定理177在空间中，四种颜色是不够的178文献索引179英文人名索引184中文人名索引186