应用泛函分析

通俗地讲，泛函分析也可以叫做无穷维空间的几何学和微积分学或无限维的分析学，主要研究无限维线性空间上的泛函数和算子理论。它综合分析学、几何和代数的观点研究无穷维向量空间上的函数、算子和极限理论，至今已经发展成为一门理论完备、内容丰富的数学分支。《应用泛函分析》主要介绍了Lebesgue测度与Lebesgue积分，度量空间与Banach空间，Hilbert空间，线性算子理论基础，同时介绍了广义函数与Sobolev空间，小波分析基础等等，各章后面配有适量的习题，供师生参考使用。《应用泛函分析》作为理工科研究生近代分析数学特别是泛函分析的基础教材，涉及内容较为宽泛，注重基础理论和应用，例题较多，各章内容相对独立，经过选择和取舍，适合不同专业的同学选用。

章Lebesgue测度与Lebesgue积分
§1.1集合
1.1.1集合的概念与运算
1.1.2可数集
1.1.3R“中的点集
1.1.4直线上的开集、闭集及完备集的构造
§1.2Lebesgue测度与可测函数
1.2.1Lebesgue测度
1.2.2可测函数
§1.3勒贝格（Lebesgue）积分
1.3.1有界函数在测度有限可测集上的Lebesgue积分
1.3.2可测函数在任意可测集上的Lebesgue积分
1.3.3Lebesgue积分的极限性质
习题一
第2章度量空间与Banach空间
§2.1线性空间、度量空间及赋范空间
2.1.1线性空间
2.1.2度量空间
2.1.3赋范空间
§2.2收敛性及空间上的映射
2.2.1收敛性
2.2.2空间上的映射
2.2.3空间中的点集
2.2.4基本性质的进一步刻画
2.2.5空间的同构
§2.3完备性与可分性
2.3.1空间的完备性
2.3.2空间的稠密性与可分性
2.3.3Baire纲定理
§2.4紧性与有限维空间
2.4.1紧性
2.4.2有限维空间
2.4.3Arzela-Ascoli定理
2.4.4紧集上的映射与函数
§2.5空间理论的应用：不动点与很好逼近
2.5.1Banach压缩映射原理及应用
2.5.2Schauder不动点定理及应用
2.5.3赋范空间中的很好逼近
习题二
第3章线性算子理论基础
§3.1有界线性算子与有界线性泛函
3.1.1有界性与连续性
3.1.2算子空间的完备性
3.1.3线性泛函的零空间
3.1.4具体的算子的范数
§3.2Banach空间中的基本定理
3.2.1一致有界原理
3.2.2开映射定理与闭图像定理
3.2.3Hahn-Banach定理
§3.3Banach空间的共轭性
3.3.1共轭空间的表示
3.3.2自反空间
3.3.3点列的弱收敛性
3.3.4弱紧性
3.3.5算子列的弱收敛性
§3.4谱理论初步
3.4.1线性算子的谱
3.4.2谱集的基本性质
§3.5算子理论的若干应用实例
习题三
第4章Hilbert空间
§4.1Hilbert空间
4.1.1内积空间
4.1.2Hilbert空间
§4.2投影定理
§4.3Hilbert空间的正交系
4.3.1正交集
4.3.2标准正交集的性质
4.3.3Gram-Schmidt正交化
……
第5章广义函数与Sobolev空间
第6章小波分析基础
部分习题答案与提示
参考文献