简牍数学史论稿

本论文集的研究对象主要是岳麓秦简《数》。岳麓秦简分为《质日》《为吏治官及黔首》《占梦书》《数》《奏谳书》《律令杂抄》六个部份。其中，《数》是一部难得的数学著作，内容很好丰富，成书年代下限为公元前212年，不仅为我们研究中国早期数学提供了新的直接史料，对于研究中国早期数学的形态和历史脉络具有重要的价值，而且其中有大量与计算有关的社会、经济、政治、法律、军事等方面的材料，对于研究其他历史问题亦具有的重要价值。秦简《数》的编连、释文、注释由肖灿负责，成果出版为《岳麓书院藏秦简（贰）》，评“第十五届华东地区古籍很好图书奖”的特等奖。

序言一i
序言二v
岳麓书院藏秦简《数》的主要内容及历史价值1
周秦之际的几何学成就17
岳麓书院藏秦简《数》中的土地面积计算29
周秦时期穀物测算法及比重观念——岳麓书院藏秦简《数》的系列研究39
从《数》的“舆（与）田”“税田”算题看秦田地租税制度45
勾股新证——岳麓书院藏秦简《数》系列研究53
秦简《数》之“秏程”“粟爲米”算题研究63
岳麓书院藏秦简《数》的两例衰分类问题研究71
秦汉土地测算与数学抽象化——基于出土文献的研究75
《岳麓书院藏秦简（贰）》释读札记82
试析《岳麓书院藏秦简》中的工程史料89
岳麓书院藏秦简《质日》曆谱考订97
读《鲁久次问数于陈起》札记二则113
秦人对于数学知识的重视与运用117
从岳麓秦简“芮盗卖公列地案”论秦代市肆建筑124
叶梦评点萧灿137
附録139
后记141

    嶽麓書院藏秦簡《數》的主要内容及歷史價值
    蕭燦，朱漢民
    湖南大學嶽麓書院在2007 年12 月從香港古董市場收購了一批簡，經檢測鑒定爲秦代簡。2008 年8 月，書院又接收到少量捐贈簡，已確認與之前收購的簡是同一批出土的簡①。在這批簡中，有一部分簡的内容是關於算數的，而編號爲【0956】簡的背面寫有一個“數”字，因此定名爲《數》②。
    一、《數》的一些基本情况
    目前整理出的《數》竹簡共有220 餘枚（以有整理編號的簡計數），還有部分竹簡殘片仍在拼綴整理中。每枚完整竹簡長約30 釐米，有上中下三道編繩。
    文字書於竹黄一面，正文一般寫在上下編繩之間，偶有文字寫在上編繩以上部位的，如【0839】簡頭端的“糴”字，應該是題名；或者有若干字寫於下編繩以下部位的，如【0460】簡尾端的“步”字，【0776】簡尾端的“（卅）六分升廿七”（其中“卅”字被編繩遮蓋），可能是當時的書寫者不願爲了語句末尾的幾個字而另寫一簡。有些簡的文字分欄抄寫，如【0852】簡的“荅十九斗重一石，麻廿六斗六升重一石，菽廿斗五升重一石”，這也許是因爲其内容之間爲并列關係。
    從字體看來，全書是由一人抄寫的。個别字在書中出現不同寫法，如“法”與“灋”。
    《數》中出現的符號有以下幾種：
    重文號和合文號“﹦”，如【0954】簡的“田廣十六步大半﹦（半半）步，從（縱）十五步少半﹦（半半）步”，表示重複的文字；【0978】簡的“ ﹦”，爲“大夫”合文；數字的合文均未見加合文號，如卌（四十）、（七十）。
    勾識“┕”，用作斷句，如【2066】簡的“秫一石十六斗大半斗┕稻一石”；在題中數字連續出現時多用以點斷上下句，避免誤讀，如【0949】簡的“以半爲六┕三分爲四﹦（四，四）分爲三”。
    墨點“？”，用作斷句，如【0939】簡的“三步一斗，租八石？今誤券多五斗”；【0776】簡的“以粟求菽荅麥，九之十而成一？以米求菽荅麥，三之二成一”。
    《數》中出現的符號，均見於張家山漢簡《算數書》，用法也大致相同①。
    《數》算題的結構組成及語法句式與張家山漢簡《算數書》相近，現已整理出的完整算題大多由這樣幾部分構成：已知條件、求解的問題、答案、解題方法。但從目前的整理情况來看，有一些算題衹見到已知條件和答案，還有的算題無記録解題方法的術文，這或許不是算題的原始狀况，可能與這批簡的保存不好有關。在《數》的算題中衹發現少數算題有題名，如“禾程”“少廣”“衰分之術”“贏不足”等，與此對照，張家山漢簡《算數書》的九十二個完整算題中現存六十九個題名①，也就是大多數算題有題名，算題也因此顯得有獨立性，且便於稱引。
    對《數》算題的内容稍作歸納，我們發現《數》算題呈現“組群”特點：靠前，有些算題衹是改變題設條件的數據，其他叙述則是一樣的，而且條件數據的設計有難易程度的變化，如果是由易到難排序，則可以給閲讀者循序漸進的訓練；第二，同類型同演算法往往有多道算題，題設條件涉及生产生活的種種情况，使閲讀者能夠學會對抽象演算法的實際應用。《數》看起來就像一本用心編排的教材。
    如何復原《數》的編次是個難題，原因在於這批秦簡是從古董市場收購的，而在清洗揭取繪圖的過程中我們發現竹簡已在流轉的過程中打亂了出土時的存放順序和繫聯關係。
    在整理過程中，我們發現《數》的許多算題與張家山漢簡《算數書》《九章算術》的算題十分相似，有的就連題設數據都相同，因此下面在介紹《數》算題的主要内容時，也會特别指出這些相似的算題。
    二、《數》算題的主要内容
    （一）“方田”類算題
    此類算題是關於土地面積計算的。現存算題包含三種平面圖形土地面積的計算。
    （1）計算矩形土地面積的算題。例如：
    【0764】□①廣三步四分步三，從（縱）五步三分步二，成田廿一步有（又）四分步之一。
    【1742】田廣六步半步四分步三，從（縱）七步大半步五分步三，成田五十九步有（又）十五分步之十四。
    【0829】〔田〕廣十五步大半半步，從（縱）十六步少半半〔步〕，成田卅二步卅六分步五。述（術）曰：同母，子相從，以分子相乘。
    從這組算題可見上文指出的《數》算題的“組群”特點。爲簡約起見，以下不再成組列舉這種衹改變數據的算題組群。
    【0829】算題答案應爲“成田一畝卅二步卅六分步五”，原簡文没有“一畝”兩字，當是簡文脱漏。算題涉及分數加法及分數乘法，同類題型亦見於《九章算術》的“方田”章以及張家山漢簡《算數書》之“大廣”，衹是記述演算法的術文在表述上有些差别。
    （2）計算箕形土地面積的算題。箕形即等腰梯形。例題是：
    【0936】箕田曰：并舌（踵）步數而半之，以爲廣，道舌中丈徹（踵）中，以爲從（縱），相乘即成積步。
    《九章算術》之“方田”章也收録有箕形土地面積算題，所給的計算方法是“并踵、舌而半之，以乘正從，畝法而一”②，與《數》演算法相同。張家山漢簡《算數書》中未見箕形土地面積算題。
    （3）計算圓形土地面積的算題。例題是：
    【0812】周田卅步爲田七十五步。
    此題與《九章算術》“方田”章第三十一題可對應：“今有圓田，周三十步，徑十步。問：爲田幾何？答曰：七十五步。”③兩題的數據都是相同的，不過《九章算術》的“圓田”算題有多餘的題設條件，實際上只需要知道周長，就可求出圓面積。
    （4）其他值得注意的算題：
    有“宇方”算題一例，其實質雖然仍是關於矩形的計算，但演算法明顯是“啓從（縱）術”的運用。算題題設條件描述的内容也很特别，不見於張家山漢簡《算數書》和《九章算術》。此題簡文如下：
    【0884】宇方百步，三人居之，巷廣五步，問宇幾可（何）。其述（術）曰：除巷五步，餘九十五步，以三人乘之，以爲法；以百乘九十
    【0825】五步者，令如法一步，即陲宇之從（縱）也。
    依據算題術文寫出解答算式爲：
    從算式可以很明白地看出此題是運用“啓從（縱）術”解答的，簡單地説，就是分數除法中的“顛倒相乘”法。當然，本題也可用邊長百步除以三，即得答案。
    還有“里田”算題一例，也很重要。
    【0947】里田述（術）曰：里乘里﹦（里，里）也，因而三之，有（又）三五之，爲田三頃七十五畝。
    簡文所記的是把邊長以里爲單位的土地面積换算爲頃畝的方法：把一平方里乘以三，再連乘三次五，得出三頃七十五畝，相對《九章算術》之“方田”章記録的演算法要簡單一點。張家山漢簡《算數書》中也有“里田”一節，其内容包含了嶽麓書院秦簡《數》中的“里田術”，并擴展出另一種計算方法。
    （二）“粟米”類算題
    （1）記録各種穀物體積重量换算關係的算題。例如：
    【0780】黍粟廿三斗六升重一石？水十五斗重一石，糲米廿斗重一石，麥廿一斗二升重一石。
    在張家山漢簡《算數書》和睡虎地秦簡中，也見到這類記録，是按體積測算穀物重量的標準。彭浩先生在《張家山漢簡〈算數書〉注釋》裏對此有過論述：“ 估計秦代的糧倉管理者普遍采用體積測算法來確定庫存。”①
    （2）記録各種穀物之間换算關係的算題。例如：
    【0791】秫千石爲稻八百卅三石三斗少半斗，稻千石爲秫千二百石。
    【0974】以粟求毀（毇），五十母廿四實；以毀（毇）求粟，廿四母五十實。粟一升爲米五分升三；米一升爲粟一升大半升。
    【0987】米一升爲毀（毇）十分升八；米一升爲菽荅麥一升半升。以粟求粺卅七之五十而成一；以粺求粟五十之卅七而成一。
    張家山漢簡《算數書》的“粺毀（毇）”“粟爲米”“粟求米”“米求粟”“程禾”算題中記載有此類糧食比率，對應數據基本是相同的。
    《九章算術》之“粟米”章所列各種糧食比率與《數》相應記載基本相同。
    《睡虎地秦墓竹簡？倉律》中有關糧食互换比率的規定②與《數》相應記載基本相同。
    （3）應用題。例如：
    【2173】粟一石爲米八斗二升，問米一石爲粟幾（可）何？曰：廿斗
    （三）“衰分”類算題
    衰分，即配分比例，就是按一定比率進行分配。《數》歸入此類的算題，其演算法與張家山漢簡《算數書》的相關算題以及《九章算術》之