现代信号处理基础

本书结构体系完整，内容较全面；概念清晰、系统性强；论述深入浅出，既重视数学原理的系统性和逻辑性，又强调概念的物理意义。学生通过使用本教材学习相关内容，能够掌握信号分析与处理的基本概念和方法，并对相关内容的工程应用有所了解，为进一步的学习和应用相关技术奠定必要的基础。

第1章信号与系统的基本概念1
1.1信号概述1
1.2信号的分类1
1.2.1确定性信号与随机信号1
1.2.2连续时间信号与离散时间信号2
1.2.3周期信号与非周期信号2
1.2.4能量信号与功率信号3
1.3单位阶跃信号与单位冲激(脉冲)信号4
1.3.1连续时间单位阶跃信号与单位冲激信号4
1.3.2离散时间单位阶跃信号与单位脉冲信号7
1.4信号的基本运算8
1.4.1连续时间信号的基本运算8
1.4.2离散时间信号的基本运算10
1.5信号的分解13
1.5.1周期信号的正交分解13
1.5.2连续时间信号的时域分解15
1.5.3离散时间信号的时域分解16
1.6系统概述17
1.7系统的分类17
1.7.1线性系统与非线性系统17
1.7.2时变系统与非时变系统18
1.7.3因果系统与非因果系统19
1.7.4稳定系统与非稳定系统20
习题20
习题参考答案23
第2章连续时间线性时不变系统的时域和s域分析24
2.1电路分析与综合简介24
2.2电路元件简介25
2.3线性电路一般分析方法简介33
2.3.1KCL、KVL完备的数学形式33
2.3.22b法34
2.3.3其他分析方法35
2.4描述连续时间线性时不变系统的微分方程37
2.5连续时间线性时不变系统的响应38
2.5.1连续时间线性时不变系统的初始条件38
2.5.2连续时间线性时不变系统的零输入响应39
2.5.3连续时间线性时不变系统的零状态响应40
2.5.4连续时间线性时不变系统的全响应43
2.6连续时间线性时不变系统的s域分析44
2.6.1拉普拉斯变换44
2.6.2微分方程的拉普拉斯变换求解49
2.6.3电路的s域模型与方程50
2.6.4系统函数与单位冲激响应53
2.6.5系统的稳定性54
2.7复合系统的连接及系统函数55
2.7.1系统的连接形式55
2.7.2复合系统的系统函数56
习题58
习题参考答案60
第3章离散时间线性时不变系统的时域和z域分析62
3.1描述离散时间线性时不变系统的差分方程62
3.2离散时间线性时不变系统的响应63
3.2.1离散时间线性时不变系统的初始条件与响应的迭代求解63
3.2.2离散时间线性时不变系统的零输入响应64
3.2.3离散时间线性时不变系统的零状态响应65
3.2.4离散时间线性时不变系统的全响应66
3.3z变换67
3.3.1z变换的定义67
3.3.2z变换的收敛域68
3.3.3常用序列的z变换70
3.3.4z变换的性质73
3.3.5逆z变换77
3.4离散时间线性时不变系统的z域分析79
3.4.1利用z变换求解差分方程79
3.4.2系统函数与单位脉冲响应81
3.4.3系统的稳定性82
3.5复合系统的连接及系统函数82
习题83
习题参考答案85
第4章信号的频域分析87
4.1连续时间周期信号的傅里叶级数及频谱87
4.1.1连续时间周期信号的傅里叶级数87
4.1.2傅里叶级数的指数形式87
4.1.3连续时间周期信号的频谱89
4.1.4周期信号的功率谱93
4.2非周期信号的傅里叶变换95
4.2.1从傅里叶级数到傅里叶变换95
4.2.2典型非周期信号的傅里叶变换97
4.2.3傅里叶变换的性质101
4.3连续时间周期信号的傅里叶变换106
4.4离散时间信号的生成与信号重建108
4.4.1采样定理108
4.4.2实际采样与信号重建111
4.5离散时间信号的傅里叶变换115
4.5.1s平面与z平面的映射关系115
4.5.2离散时间傅里叶变换的定义117
4.5.3离散时间傅里叶变换的基本性质119
4.6离散周期信号的傅里叶级数和傅里叶变换120
4.6.1离散周期信号的傅里叶级数120
4.6.2离散周期信号的傅里叶变换122
习题124
习题参考答案127
第5章卷积与系统的频域分析130
5.1卷积积分130
5.1.1单位冲激响应的时域求解130
5.1.2零状态响应的卷积积分描述131
5.1.3卷积积分的计算与性质132
5.2连续时间线性时不变系统的频域分析137
5.2.1连续时间线性时不变系统的频率特性137
5.2.2连续时间信号通过系统的频域分析138
5.2.3无失真传输系统143
5.2.4理想模拟滤波器144
5.3卷积和146
5.3.1单位脉冲响应的时域求解146
5.3.2零状态响应的卷积和描述148
5.3.3卷积和的计算与性质148
5.4离散时间线性时不变系统的频域分析152
5.4.1离散时间线性时不变系统的频率特性152
5.4.2离散时间信号通过系统的频域分析153
5.4.3理想数字滤波器153
习题154
习题参考答案156
第6章离散傅里叶变换159
6.1离散傅里叶变换概述159
6.1.1离散傅里叶变换的定义159
6.1.2离散傅里叶变换与DTFT和z变换的关系161
6.2离散傅里叶变换的性质和圆周卷积163
6.2.1离散傅里叶变换的性质163
6.2.2圆周卷积165
6.3利用DFT计算线性卷积166
6.3.1两个有限长序列的线性卷积166
6.3.2短序列与极长序列的线性卷积167
6.4利用DFT计算信号的频谱167
6.4.1混叠现象168
6.4.2频谱泄漏170
6.4.3栅栏现象172
6.4.4利用DFT进行频谱分析时的参数选择173
6.5快速傅里叶变换174
6.5.1DFT的运算量分析174
6.5.2减少DFT运算量的基本思路174
6.5.3基2时间抽取FFT算法175
6.5.4基2频率抽取FFT算法177
习题179
习题参考答案180
第7章模拟滤波器182
7.1模拟滤波器的几个概念182
7.1.1因果系统的一些特性182
7.1.2滤波器逼近182
7.1.3归一化和去归一化183
7.2模拟滤波器设计183
7.2.1模拟滤波器模平方函数183
7.2.2巴特沃思模拟低通滤波器设计184
7.2.3切比雪夫模拟低通滤波器设计187
7.2.4巴特沃思逼近与切比雪夫逼近的比较189
7.2.5利用原型模拟低通滤波器设计模拟高通、带通、带阻滤波器189
7.3无源模拟滤波器的实现191
7.3.1无源单端口LC网络的综合191
7.3.2无源模拟滤波器的综合193
7.4有源模拟滤波器的实现199
7.4.1有源模拟滤波器概述199
7.4.2一阶转移函数实现电路200
7.4.3二阶转移函数实现电路201
习题207
习题参考答案208
第8章数字滤波器212
8.1数字滤波器原理与类型212
8.2IIR数字滤波器设计214
8.2.1脉冲响应不变法设计IIR滤波器214
8.2.2双线性变换法设计IIR滤波器217
8.3FIR数字滤波器设计220
8.3.1线性相位系统及时域特性220
8.3.2窗函数法设计FIR数字滤波器223
8.3.3几种常用的窗函数225
8.3.4频率取样法设计线性相位FIR滤波器229
8.4数字滤波器结构230
8.4.1IIR数字滤波器结构230
8.4.2FIR数字滤波器结构233
习题234
习题参考答案236
第9章现代信号分析与处理简介238
9.1时频分析方法238
9.1.1时频分析的基本概念238
9.1.2短时傅里叶变换239
9.1.3Wigner-Ville分布240
9.1.4时频分析实例242
9.2小波变换243
9.2.1概述243
9.2.2连续小波变换244
9.2.3离散小波变换250
9.2.4小波分析在信号处理中的应用256
9.3希尔伯特-黄变换258
9.3.1概述258
9.3.2瞬时频率258
9.3.3固有模态函数259
9.3.4希尔伯特谱261
9.3.5希尔伯特-黄变换应用实例261
习题265
习题参考答案265
参考文献266

     章 信号与系统的基本概念
    本章介绍信号与系统的基本概念，包括7 节内容，分别是：信号概述、信号的分类、单位阶跃信号与单位冲激(脉冲)信号、信号的基本运算、信号的分解、系统概述、系统的分类。通过本章的学习，读者应建立信号与系统的基本概念，为学习后续章节内容奠定基础。
    1.1 信号概述
    人类的社会活动以及物质的形态和变化都会产生信息。一般而言，信号是信息的载体，信息是信号的具体内容。
    信息可通过语言、文字、图像、颜色、声音、公式、符号、数据等加以反映，而信号通常表现为随时间变化的物理量。常见的信号形式有声信号(如学校的上、下课铃声)、光信号(如交通路口的红绿灯)、电信号(如电路中的电压、电流)等。
    在各种信号中，很便于传输、控制与处理的是电信号，并且许多非电属性的物理量(如温度、压力、光强、位移、转矩、转速等)都可以通过传感器变换为电信号。因此，研究电信号具有普遍的意义。
    信号可以表达为一个或多个独立变量的函数。例如，x(t)或y(t) 可用来表示一维信号；f (x， y)可用来表示二维信号；还可有高于二维的信号。信号除了可以用函数式表达，还常以图形的方式来体现。
    1.2 信号的分类
    1.2.1 确定性信号与随机信号
    信号的分类方法很多，根据信号取值是否确定，可将信号分为确定性信号和随机信号。确定性信号是指能够以确定的时间函数(或可用确定的信号波形)来表示的信号，这种信号在其定义域的任意时刻都有确定的函数值。例如，正弦信号、指数信号等。图1-1(a)所示的正弦信号就是确定性信号的一个例子。
    如果信号不是时间的确定函数，其取值具有不确定性，只能用概率统计的方法来描述，此类信号就是随机信号，随机信号也称为不确定性信号。图1-1(b)所示为混有噪声的正弦信号，就是随机信号的一个例子。抛硬币得到的正反面记录也是随机信号。
    1.2.2 连续时间信号与离散时间信号
    按照信号自变量取值的特性，信号可分为连续时间信号与离散时间信号。
    连续时间信号是指在信号的定义域内的任意时刻(可不包括有限数量的间断点)都有确定函数值的信号，连续时间信号通常用x(t)或f (t)表示。连续时间信号的幅值可以是连续的，也可以是离散的，幅值连续的连续时间信号也称为模拟信号。
    离散时间信号是指定义域为离散时刻点的信号，信号在这些离散的时刻点之外无定义。离散时间信号可由连续时间信号采样得到，若采样间隔(周期)是TS ，则离散时间信号可表示为x(nTS )。
    离散时间信号的值域可以是连续的，但用计算机处理信号时，由于计算机只能用有限位数的二进制数来表示数值，因此必须将信号值以q 为很小单位量化成离散的数，经过量化后的离散时间信号称为数字信号，用xq (nTS )表示。由于用计算机处理信号只需明确是第几个数据，而不必知道准确的时间，因此，数字信号xq (nTS )往往可表示为x(n)，这样，数字信号也就被称为数字序列，简称序列。
    图1-2(a)所示为连续时间信号x(t)，图1-2(b)所示为由x(t)采样得到的离散时间信号x(nTS )，图1-2(c)所示为由x(nTS )以q 为很小单位量化得到的数字信号xq (nTS )=x(n)。
    幅值不满足离散特性的离散时间信号不是数字信号，但由于用计算机处理的信号均为数字信号，故在实际应用中，不再区分离散时间信号和数字信号，两者名称通常混用。x(n)通常表示数字信号xq (nTS )，有时，x(n)也用来表示离散时间信号x(nTS )。
    连续时间信号常简称为连续信号，离散时间信号常简称为离散信号。
    1.2.3 周期信号与非周期信号
    根据信号是否按固定间隔重复，信号可以分为周期信号与非周期信号。
    若信号按照一定的时间间隔T 周而复始且无始无终，则称此类信号为周期信号。周期信号的通用表达式为式中，T 称为连续信号x(t)的周期；N称为离散信号x(n)的周期。由于周期信号在一个周期内的表达便能够表现其随时间变化的信息特征，所以对周期信号一般只需给出其在一个周期内的变化过程。
    若信号在时间上不具有周而复始的特性，或者说信号的周期趋于无限大，则此类信号称为非周期信号。周期信号可以由非周期信号间隔一段时间进行重复而产生。严格意义上的周期信号是无始无终地按某一规律重复变化的信号。实际上，周期信号只能是在较长时间范围内按一定规律重复变化的信号。
    当周期分别为T1和T2的两个周期信号相加时，如果两信号的周期比T1 / T2或T2 / T1具有整数关系，则合成信号为周期信号，其周期为两者中大者；如果周期比不是整数，设n1和n2是互为质数的整数，当n1T1 ？ n2T2时，即T1 / T2是有理常数时，所得合成信号仍然是周期信号，其周期是T ？ n1T1 ？ n2T2，该周期是单个信号周期的很小公倍数。两个周期信号相加，所得信号也有可能不是周期信号，如T1 / T2 为无理数时，两个周期信号相加的结果就是非周期信号。
    【例1-1】 已知信号x1(t)= cos(20t)，x2 (t) =cos(22t)，x3 (t)= cost 和x4 (t) =cos( 2t)，试问x1(t) ？ x2 (t)和x3(t) ？ x4 (t)是否为周期信号？若是，求其周期。
    解：因为？ ？ 2πf ？ 2π / T ，可知x1(t)的周期为T1 ？ 2π/？ ？ 2π/20=π/10，x2 (t)的周期为T2 ？ 2π / 22 ？ π /11，由于T1 / T2 ？11/10是有理数，所以x1(t) ？ x2 (t)是周期信号，其公共周期为T ？10T1 ？11T2 ？ π。
    x3(t)的周期为T3 ？ 2π，x4 (t)的周期为T4 ？ 2π / 2 ？ 2π，由于T3 / T4 ？ 2是无理数，所以x3(t) ？ x4 (t)不是周期信号。
    【例1-2】 判断离散余弦信号x(n)=sin(n)是否为周期信号。
    解：由周期信号的定义知，若x(n)是周期信号，需有sin(n N) sin(n)。因为Sin(n N) sin(n N)，要使x(n)为周期信号，必须有N m2π，且m为整数，此时有
    因此，只有为有理数时，即( p和q为不可约分的整数)时，x(n) sin(n)才是周期信号。
    说明：本书用？ 表示模拟频率，如例1-1 中所示，用ω 表示数字频率，如例1-2 中所示。
    1.2.4 能量信号与功率信号
    根据信号的能量或功率是否有限，信号可以分为能量信号与功率信号。信号可看作随时间变化的电压或电流，如把信号x(t)看作加在1？电阻上的电流，则其瞬时功率为x(t) 2，在时间间隔内会消耗一定的能量。现在将时间区间无限扩展，定义信号x(t)的能量为把该能量对时间区间取平均，即此即信号x(t)平均功率的定义。
    对于离散时间信号x(n)，其能量E与平均功率P的定义分别为。
    若信号的能量为有限值，平均功率为零，则称该信号为能量信号。由于能量信号的平均功率为零，只能从能量的角度去研究它。
    若信号的功率为有限值，则称该信号为功率信号。幅值有限的周期信号都是功率信号。
    1.3 单位阶跃信号与单位冲激(脉冲)信号
    1.3.1 连续时间单位阶跃信号与单位冲激信号
    在信号处理中，常常将一般信号分解为某些基本信号的线性组合，这样就可以把一般信号经过系统的问题转化为基本信号经过系统的问题。连续时间基本信号分为两类：一类称为普通信号；另一类称为奇异信号，数学上对应为奇异函数。单位阶跃信号和单位冲激信号是两种奇异信号。
    1. 单位阶跃信号
    单位阶跃信号用？ (t)来表示，定义为 (t)在t ？ 0处发生跳变，因此在该点没有定义，其波形如图1-3(a)所示。实际中经常遇到 (t)的移位信号，其延时t0后的信号为？ (t ？ t0 )，如图1-3(b)所示，表示为 (1-8)
    单位阶跃信号具有单边特性，任意信号与单位阶跃信号相乘可形成截断信号。如正弦信号sin(t)，将其与？ (t)相乘后变为单边正弦信号sin(t)？(t)，当t=0时其值为零，t=0时按正弦规律变化。
    2. 单位冲激信号
    1)单位冲激信号的定义
    单位冲激信号用 (t)表示，定义为 (1-9)
    其波形如图1-4(a)所示，图中的(1)表示信号的强度为1。单位冲激信号可以延时至任意时
    刻t0，记为 (t= t0 )，如图1-4(b)所示，表示为 (1-10)
    2)单位冲激信号与单位阶跃信号的关系
    单位冲激信号与单位阶跃信号有如下关系： (1-11)？ ？ (1-12)
    单位阶跃信号 (t)在t= 0处不连续，值从0 跃变为1，对其求导后，产生了强度为1的单位冲激信号？ (t)。这一结论适用于任意信号，即对信号求导时，信号在不连续点的导数为冲激信号或延时的冲激信号，冲激信号的强度就是不连续点的跃变值。不连续点处微分产生冲激信号，需从奇异函数角度看待这一现象，常规函数在不连续点处是不能微分的。
    3)单位冲激信号的性质
    (1)筛分特性。
    x(t) (t= t0 ) ？ x(t0 )？ (t =t0 ) (1-13)式(1-13)说明，冲激信号？ (t ？ t0 )可以把信号x(t)在t t0处的值筛分出来作为自身的强度。利用冲激信号的筛分特性，可得到如下结果：
     (2)展缩特性。(1-15)
    由展缩特性可得出如下推论。
    推论1：单位冲激信号是偶函数，取可得 (1-16)
    推论2：(1-17)
    【例1-3】 利用冲激信号的性质计算下列各式。