计数几何演算法

让读者熟悉几何学一个新的分支中的概念、问题和方法，在这一几何分支中，不是实际去做出几何形体的图形，而是要算出按某种公式定义的几何形体在满足某些确定的条件到底有几个，为解析几何学上的研究提出分支研究的问题和做好重要前期准备。

赫尔曼·舒伯特(Hermann Schubert, 1848-1911)，出生于德国的波茨坦。1867年毕业于柏林大学。1870年，在Halle大学获得博士学位。博士论文题目为《论特征理论》，内容是关于计数几何的研究。1872年，他得到了一所文理中学(Gymnasium)的数学教师职位。四年后他迁往汉堡，在德国有名的Johanneum文理中学任教，并在那里一直工作到1908-年，才由于健康原因退休。在此期间，由于在计数几何研究上的杰出成就，有多所大学聘请他去任教，但他不愿离开汉堡，因而全都拒绝了。1874年，由于他将特征理论推广到三次空间曲线的工作，Schubert获得了丹麦皇家科学院的金奖。
Schubert的主要著作就是这本《计数几何演算法》。此书阐述了他的一种研究计数几何的演算法，总结了他在计数几何上的研究成果。在1900年的巴黎数学家大会上，Hilbert在其有名的演讲中列出了23个当时很重要的数学问题，其中的5问题主要就是要求为本书中阐述的方法建立严格的基础，并据此来验证本书中所得到的计数结果。

   第一章条件的符号记法1

1几何形体的参数个数1

2条件的记法3

3条件的维数与系统的级数6

4个数守恒原理9

5用条件的符号来表示由条件所确定的数目以及用这些符号来作计算14

6三个主元素的基本条件之间的方程16

第二章关联公式19

7点与直线的关联公式19

8关联公式Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ应用于切线与其切点组成的关联体20

9关联公式Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的其他例子22

10其他关联公式24

11关联公式Ⅳ至ⅩⅣ的应用举例27

12关联公式应用于与主元素相关联的主元素系统32

第三章叠合公式35

13点对的叠合公式和Bezout定理35

14应用13中的叠合公式确定有关平面曲线与曲面相切的若干数目41

15直线对及其叠合条件48

16直线对的叠合公式对二次曲面上两个直线族的应用55

17不同种类主元素组成的对及其叠合条件70

18由点对的一般叠合公式推导Cayley-Brill的对应公式74

第四章通过退化形体进行计数77

19有限个主元素所构成几何形体的计数77

20圆锥曲线的计数78

21Chasles-Zeuthen约化84

22二次曲面的计数88

23带尖点的三次平面曲线的计数92

24带二重点的三次平面曲线的计数131

25三次空间曲线的计数150

26固定平面中四阶平面曲数的计数170

27线性线汇的计数173

28由那样两条直线构成的几何形体的计数，这两条直线上的点或者含有这两条直线的平面相互之间是射影相关的180

29由一个平面束和一个与之射影相关的直线束所构成几何形体的计数187

30由两个射影相关的直线束所构成几何形体的计数189

31由两个共线直线丛所构成几何形体的计数192

32由两个关联直线丛所构成几何形体的计数200

第五章多重叠合209

33直线与曲面交点的叠合209

34一条直线上多个点的叠合227

35一个直线束中多条直线的叠合235

36一般直线复形的奇点243

第六章特征理论254

37关于任意几何形体Γ的特征问题254

38圆锥曲线的特征问题263

39由一条直线和其上一点所构成几何形体的特征公式的推导与应用266

40直线束的特征公式的推导与应用275

41由一条直线、该直线上的一个点以及含有该直线的一个平面所构成几何形体的特征公式的推导与应用280

42由一条直线和该直线上的n个点所构成几何形体的特征理论283

43两个曲面相交曲线的多重割线数目的计算294

44一个直线束和其中的n条直线所构成几何形体的特征理论以及在两个复形公共线汇上的应用298

文献注释307

附录数学问题319