高等数学(上册)(含练习册)

本书是根据编者多年的教学实践经验，参照**制定的“工科类、经济管理类本科数学基础课程教学基本要求”，以及教育部**颁布的“全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲”中有关高等数学部分的内容编写而成，分为上、下两册。
本书为上册，主要内容包括极限与函数的连续性、导数与微分、微分中值定理与导数的应用、不定积分、定积分及其应用和常微分方程。

前言
第1章极限与函数的连续性1
1.1函数1
1.2极限的概念、无穷小与无穷大15
1.3极限的运算法则26
1.4极限存在准则、无穷小的比较33
1.5连续函数44
1.6数学实验：一元函数图形的绘制55
第2章导数与微分64
2.1函数的导数64
2.2求导法则72
2.3高阶导数、隐函数及由参数方程所确定的函数的导数81
2.4函数的微分90
2.5数学实验：方程根的近似计算99
第3章微分中值定理与导数的应用104
3.1微分中值定理104
3.2洛必达法则109
3.3泰勒公式117
3.4函数的单调性和极值123
3.5曲线的凹凸性、函数图形的描绘132
3.6微分学在经济学中的应用139
第4章不定积分147
4.1不定积分的概念与性质147
4.2换元积分法151
4.3分部积分法159
4.4几种典型函数的不定积分163
第5章定积分及其应用171
5.1定积分的概念和性质171
5.2微积分基本定理179
5.3定积分的换元积分法与分部积分法184
5.4反常积分197
5.5定积分的应用204
5.6数学实验：数值积分222
第6章常微分方程225
6.1微分方程的基本概念225
6.2一阶微分方程229
6.3二阶常系数齐次线性微分方程244
6.4二阶常系数非齐次线性微分方程251
6.5数学实验：微分方程的数值解法257
习题答案及提示260
附录279

    第1章 极限与函数的连续性
    高等数学是一门以函数为主要研究对象的数学课程。在实际生活中，大量的实际问题要求获得变量与变量之间的依赖关系，由此产生了函数概念。极限理论是研究函数的基础。本章将介绍函数、极限和函数的连续性等基本概念以及它们的一些性质，其中有些内容在中学课程中已经学习过，但有必要巩固和进一步加深。
    1.1 函数
    1.1.1 区间和邻域
    高等数学中讨论的量在实数集中取值，全体实数的集合记为R。实数集与数轴上的点集一一对应，因此不严格区别数和点。
    1.区间
    区间是高等数学中常用的数集，借助于集合符号将其表示如下：
    设a，b∈R，且a<b，各种区间定义如下：
    开区间（a，b）={x|a＜x＜b}；
    闭区间[a，b]={x|a≤x≤b}；
    左开右闭区间（a，b]={x|a＜x≤b}；
    左闭右开区间[a，b）={x|a≤x＜b}。
    这些区间统称为有限区间，b-a称为这些区间的长度，a与b分别称为这些区间的左端点和右端点。开区间（a，b）和闭区间[a，b]如图1.1（a）与（b）所示。
    下列区间统称为无限区间：其中（读作正无穷大）表示数轴正方向无穷远处，（读作负无穷大）表示数轴负方向无穷远处，和+都不是具体的数。区间如图1.1（c）和（d）所示。
    图1.1
    2.邻域
    邻域也是高等数学中常用的数集。
    设a∈R，δ>0，称与点a的距离小于δ的点组成的数集{x||x-a|<δ}=（a-δ，a+δ）为点a的δ邻域。点a称为邻域的中心，δ称为邻域的半径。如图1.2（a）所示。
    在点a的δ邻域中去掉中心点a所得到的数集{x0<x-a<δ}=（a-δ，a）=（a，a+δ）称为点a的去心邻域（0<x-a表示x≠a）。如图1.2（b）所示。
    图1.2
    1.1.2 函数的概念
    在我们所研究的基本问题中，常常会遇到不同的量，有些量在整个过程中不发生变化，即取固定的数值，这种量称为常量；有些量在整个过程中是变化的，即可以取不同的数值，这种量称为变量。
    1.函数的定义
    同一过程中的几个变量之间往往是互相依赖的关系。现在针对两个变量的情况举几个例子。
    例1.1考察不同半径的圆的面积。
    设圆的半径为r，面积为A，则有A=πr2，r>0。这里圆周率？是个常量，圆的半径r和面积A都是变量。当变量r在区间（0）内任取一个数值时，变量A按照上面的对应法则有专享的数值与之对应。
    例1.2某市的出租车按如下办法收费：当乘车里程不超过2.5km时，收费10元，当里程超过2.5km时，每km加收2元。
    设乘车里程为xkm，则乘车费这里乘车里程x和乘车费y是两个变量。当变量x在区间（0）内任取一个数值时，变量y按上面的对应法则就有专享的数值与之对应。
    一般地，变量y与变量x之间的这种对应关系就是函数关系。
    定义1.1设D是一个非空数集．如果存在一个对应法则f，使得对于每一个数x∈D，按照对应法则f有专享的数值y∈R与之对应，则称y是x的函数，记作y=f（x），x∈D，其中x称为自变量，y称为因变量，D称为函数y=f（x）的定义域。
    为了简化书写，本书引入几个逻辑符号，其中符号（Any首字母的变形）表示“对每一个”“对任何的”。函数定义中“对每一个数x∈D”可以简写成“x∈D”。关于函数的定义，作以下几点说明。
    （1）用变量的说法，当变量x取值0x∈D时，变量y有专享的数值0y与0x相对应。此时称函数在点0x处有定义，称0y为函数在点0x的函数值，记为0f（x）。称全体函数值组成的数集W={yy=f（x），x∈D}为函数的值域。函数定义中变量y与变量x的对应法则y=f（x）称为函数关系。
    （2）对于用代数式表示的函数，当不考虑函数中的变量所表示的实际意义时，我们约定函数的定义域是使算式有意义的自变量能取到的所有数值所组成的数集，也称其为函数的自然定义域。
    例1.3确定函数的定义域。
    解为使函数有意义，应有x-1？0，x-2≠0，5-x>0，所以函数的定义域D=[1，2）=（2，5）。
    （3）构成函数的要素是定义域D和函数关系y=f（x）。如果两个函数的定义域相同，函数关系也相同，那么它们是相同的函数。
    例如，函数A=πr2，r>0和y=πx2，x>0是相同的函数。
    再如，函数y=lgx2和y=2lgx，显然当x>0时lgx2=2lgx，但是由于它们的定义域分别是1212D，D≠D，所以二者不是相同函数。
    （4）函数的定义强调了函数值的专享性，即自变量每取一个值，对应的函数值是专享的。相反，对于一个函数值，所对应的自变量的值可能不专享。
    设函数y=f（x），定义域为D，值域为W。若？y∈W，相应的自变量x的值是专享的，则称x与y是一一对应的。
    例如，在函数y=x2（图1.3（a））中，x与y不是一一对应的，而在函数y=x3（图1.3（b））中，x与y是一一对应的。
    最后说一下关于函数的记号。如果在同一场合出现多个函数，常用不同的字母来区别它们。如函数y=g（x），y=F（x），y=φ（x）等等。有时还直接用表示因变量的字母将函数写成y=y（x）。
    图1.3
    2.函数的图形
    表示函数的方法很多，如表格法、图形法、公式法，其中图形法更便于直观地了解函数。
    设函数y=f（x），x∈D。？x∈D，对应的函数值为y=f（x），以x为横坐标，y为纵坐标，就得xOy平面上的一个点（x，y），称xOy平面上的平面点集C={（x，y）y=f（x），x∈D}为函数y=f（x）的图形（图1.4）。
    图1.4
    图1.5
    一般地，函数y=f（x）的图形是xOy平面上的一段曲线。
    例1.4（1）绝对值函数