矩阵论简明教程

全书共分7章，具体内容包括：靠前章介绍矩阵的由来，分别从“鸡兔同笼”解线性方程组和线性空间、线性变换两个角度进行叙述；第2章介绍矩阵的基本概念、基本性质和常见的几种矩阵；第3章介绍矩阵化简问题，即如何把矩阵化简成对角矩阵或分块对角化(Jordon标准型)；第4章介绍矩阵分解问题，即把一个矩阵拆分成几个特殊矩阵乘积的形式，这一章的很后还介绍了矩阵的广义逆问题；第5章介绍矩阵度量问题，即把“距离”的概念推广到“范数”的概念，并介绍了范数理论如何应用到特征值估计问题中；第6章介绍矩阵分析问题，即利用微积分的方法来处理矩阵；很后，第7章从一个图像处理的简单例子出发，介绍了矩阵如何和实际问题相结合，并拓展介绍了非负矩阵的一些相关知识。同时，在每章章末都配备了一定数量的习题，希望这些习题能够帮助读者巩固本章的知识点。

王刚，北京航空航天大学电子信息工程学院副教授，博士后，从事交通信息工程及控制方面的教研工作，并负责矩阵论和运筹学的教学任务，出版专著（译著）3部。

第1章 线性代数基础 1
1.1 从线性方程组谈起 1
1.2 线性空间、线性变换和矩阵 3
1.3 线性子空间基本概念 8
1.4 特殊的线性子空间 12
习题 13
第2章 矩阵的基本概念 15
2.1 矩阵的基本运算 15
2.2 矩阵的秩 18
2.3 矩阵的迹 20
2.4 矩阵的特征值和特征向量 21
2.5 正交矩阵和酉矩阵 25
2.5.1 Gram-Schmidt正交化方法 26
2.5.2 Givens变换 27
2.5.3 Householder变换 29
2.6 正规矩阵 30
2.7 正定矩阵与半正定矩阵 32
2.8 特殊的幂矩阵 35
习题 36
第3章 矩阵对角化 38
3.1 矩阵的相抵 38
3.2 矩阵的相似 39
3.3 矩阵的对角化 40
3.4 正交相似对角化 42
3.5 Jordan标准形 46
3.5.1 Jordan标准形的存在定理 46
3.5.2 初等因子法求Jordan标准形 48
3.6 Cayley-Hamilton定理及其应用 54
习题 58
第4章 矩阵分解及应用 59
4.1 三角分解LU 59
4.2 矩阵的QR分解 62
4.3 满秩分解 67
4.4 奇异值分解 69
4.5 矩阵的极分解 74
4.6 矩阵的谱分解 75
4.7 扩展主题——广义逆矩阵 79
习题 83
第5章 范数理论及其应用 85
5.1 向量范数的定义 85
5.2 三个常用的不等式 86
5.3 常见的向量范数 88
5.4 向量范数的等价性 92
5.5 矩阵范数定义 94
5.6 常见的矩阵范数 94
5.7 矩阵范数与向量范数之间的相容性 99
5.8 扩展主题1：矩阵的非奇异性条件 101
5.9 扩展主题2：特征值估计 103
5.10 广义特征值与极小极大原理 106
习题 109
第6章 矩阵分析及应用 111
6.1 矩阵序列及其极限 111
6.2 矩阵级数 114
6.3 矩阵幂级数 116
6.4 矩阵函数 118
6.5 函数矩阵的微分 125
6.6 函数矩阵的积分 130
应用扩展：矛盾方程组的求解 130
习题 132
第7章 矩阵论的实际应用 134
7.1 线性方程组求解的问题 134
7.2 非负矩阵简介 137
7.3 低秩矩阵近似 137
7.4 主成分分析简介 141
参考文献 143