现代偏微分方程导论

偏微分方程是数学学科的一个重要分支，它与其他数学分支均有广泛的联系，而且在自然科学与工程技术中有广泛的应用。本书主要讲述偏微分方程的一般理论，广义函数与Sobolev空间，椭圆边值问题，能量方法，算子半群等内容，为提高读者的整体数学素质提供了必要的材料，也为部分读者进一步学习与研究偏微分方程理论做了准备。本书是“现代偏微分方程导论”的第二版，它将基本上保留靠前版的目标、读者对象与章节结构。在内容上将根据学科的发展与教学实践的体会做适当的补充。如对Sobolev嵌入定理、基本解、椭圆型方程的特征值问题、抛物型方程、抽象函数性质等都将补充新的材料。在内容的阐述上也将做更多的分析与讲解，以使读者更易于理解与接受。

《大学数学科学丛书》序
第二版前言
第一版前言
第1章 广义函数与Sobolev空间 1
1.1 广义函数的基本概念、基本空间 1
1.1.1 引言 1
1.1.2 基本空间C(Rn)，Cc(Rn) 4
1.1.3 函数的正则化、平均算子 5
1.1.4 基本空间 S(Rn) 7
习题 9
1.2 广义函数及其运算 10
1.2.1 D1(Rn)，S1(Rn)，E1(Rn)广义函数 10
1.2.2 广义函数的支集 13
1.2.3 广义函数的极限 16
1.2.4 广义函数的导数 18
1.2.5 广义函数的乘子 22
1.2.6 广义函数的自变量变换 23
1.2.7 广义函数的卷积 23
习题 26
1.3 Fourier变换 28
1.3.1 S(Rn)空间上的Fourier变换 28
1.3.2 S1(Rn)空间上的Fourier变换 32
1.3.3 紧支集广义函数的Fourier变换 36
1.3.4 拟微分算子 39
习题 41
1.4 Sobolev空间 42
1.4.1 非负整指数Sobolev空间Hm，p 42
1.4.2 负整指数Sobolev 空间 48
1.4.3 实指数Sobolev空间 50
1.4.4 Hm(Ω)函数的延拓 52？
1.4.5 微分流形上的Sobolev空间 55
习题 56
1.5 嵌入定理、迹定理 57
1.5.1 嵌入定理 57
1.5.2 紧嵌入定理 63
1.5.3 迹定理 66
习题 70
第2章 偏微分方程的一般理论 72
2.1 一般概念、特征与分类 72
2.1.1 偏微分方程的一般概念 72
2.1.2 特征 73
2.1.3 偏微分方程的分类 75
习题 76
2.2 存在性定理 77
2.2.1 Cauchy-Kowalevskaya定理 77
2.2.2 Cauchy-Kowalevskaya定理的证明 80
2.2.3 初始资料给在一般曲面上的情形 84
2.2.4 Lewy反例 86
习题 87
2.3 专享性与稳定性 88
2.3.1 Holmgren定理 88
2.3.2 Holmgren定理的应用 92
2.3.3 稳定性 93
习题 94
2.4 基本解 95
2.4.1 基本解的概念 95
2.4.2 偏微分方程的基本解 97
2.4.3 Cauchy问题的基本解 101
2.4.4 基本解在解的正则性研究中的应用 104
习题 106
第3章 椭圆型方程 107
3.1 椭圆型方程边值问题的广义解 107
3.1.1 Dirichlet问题的广义解 107
3.1.2 第二、第三边值问题的广义解 109
习题 111
3.2 椭圆型方程边值问题的可解性 111
3.2.1 先验估计 111
3.2.2 算子-L+λ的可逆性 114
3.2.3 两择性定理 115
3.2.4 特征值问题 119
3.2.5 Laplace算子的特征值与特征函数 121
习题 124
3.3 解的正则性 124
3.3.1 差商算子及其性质 124
3.3.2 半空间上椭圆型方程的Dirichlet问题 127
3.3.3 一般区域的情形 131
3.3.4 内正则性定理 133
习题 135
3.4 高阶椭圆型方程 135
3.4.1 高阶椭圆型方程的定义 135
3.4.2 先验估计 137
3.4.3 两择性定理与正则性定理 141
习题 142
第4章 双曲型方程 143
4.1 能量不等式﹑解的专享性和稳定性 143
4.1.1 二阶双曲型方程的定解问题 143
4.1.2 初边值问题的能量不等式 144
4.1.3 Cauchy问题的能量不等式 147
4.1.4 扰动的有限传播速度 150
习题 150
4.2 Cauchy问题解的存在性 150
4.2.1 高阶能量不等式 151
4.2.2 解析逼近法 152
习题 155
4.3 初边值问题解的存在性 155
4.3.1 取值于Banach空间的函数 155
4.3.2 Galerkin方法 157
4.3.3 附注 164
习题 165
4.4 对称双曲组 165
4.4.1 对称双曲组及其Cauchy问题 165
4.4.2 对称双曲组Cauchy问题的能量不等式 167
4.4.3 初边值问题的能量不等式 170
习题 171
4.5 正对称方程组 172
4.5.1 正对称算子 172
4.5.2 强解与弱解 175
4.5.3 强解的专享性与弱解的存在性 176
4.5.4 强解与弱解的一致性 179
习题 185
第5章 抛物型方程与算子半群方法 187
5.1 抛物型方程及其能量不等式 187
5.1.1 抛物型方程的定解问题 187
5.1.2 能量不等式 188
5.1.3 用Galerkin方法解初边值问题 189
习题 192
5.2 算子半群与无穷小生成元 192
5.2.1 算子半群方法的基本思想 192
5.2.2 无穷小生成元 194
5.2.3 线性压缩算子半群的存在性与专享性 196
5.2.4 一般线性算子半群的情形 200
习题 202
5.3 算子半群方法的应用 202
5.3.1 增生算子 202
5.3.2 对抛物型方程初边值问题的应用 203
5.3.3 对双曲型方程初边值问题的应用 207
习题 211
参考文献 212
索引 214
《大学数学科学丛书》已出版书目 217