微积分讲稿

本书主要针对向量值映照建立微分学与积分学，另包括级数。本书按知识点划分各章，每一章包括:(1)理论阐述，按知识要素展开，并体现分析的图示化过程；(2)应用事例，归类相关方法使其可适用于一类问题，而非仅是例题的罗列；(3)拓广深化，致力于将相关思想与方法联系于其他知识体系，为专题性研究以及理论联系实际提供事例。借此，本讲稿兼具理论教程、课程辅导以及拓广深化这三方面的功能。撰写上注重体现知识体系的脉络结构、逻辑发展、思想方法；为便于阅读，在写作上注重演绎推导过程完整，应用事例丰富。

前言
符号表
第一部分高维微分学
第一章向量值映照的背景
§1.1知识要素
§1.1.1向量值映照
§1.1.2范数与距离
§1.1.3Euclid空间中的点列
§1.2应用事例
§1.2.1极坐标系
§1.2.2柱坐标系
§1.2.3球坐标系
§1.2.4椭圆柱坐标系
§1.2.5双极柱坐标系
§1.3拓广深化
§1.4建立路径
第二章向量值映照的极限
§2.1知识要素
§2.1.1向量值映照极限的定义
§2.1.2向量值映照极限的分析性质
§2.1.3向量值映照极限的计算方法
§2.1.4Euclid空间中点集拓扑基础
§2.2应用事例
§2.2.1基于路径分析
§2.2.2基于极坐标分析
§2.2.3累次极限
§2.3建立路径
第三章向量值映照的可微性与导数的计算方法
§3.1知识要素
§3.1.1向量值映照的可微性定义
§3.1.2方向导数
§3.1.3高阶偏导数
§3.1.4导数计算的充分性方法
§3.1.5导数计算的极限分析方法
§3.2应用事例
§3.2.1导数计算的充分性方法
§3.2.2导数计算的极限分析方法
§3.2.3矩阵形式的链式求导
§3.3拓广深化
§3.3.1单参数向量值映照的变化率
§3.3.2单参数单位正交基的变化率
§3.3.3速度与加速度等合成原理
§3.3.4角速度与角速度合成原理
§3.3.5单位正交基下速度与加速度的表示
§3.4建立路径
第四章基于直线单参数化的相关分析结论
§4.1知识要素
§4.1.1直线单参数化
§4.1.2多元函数可微性的一个充分性条件
§4.1.3多元函数混合偏导数可以交换次序的一个充分性条件
§4.2建立路径
第五章无限小分析方法
§5.1知识要素
§5.1.1基于直线单参数化获得无限小增量公式
§5.1.2多项式逼近的专享性
§5.1.3获得多元高阶多项式逼近的实际方法
§5.1.4自由最值问题
§5.1.5多元函数展开至二阶的几何意义
§5.2应用事例
§5.2.1自由最值问题
§5.2.2获得复杂函数的多元高阶多项式逼近
§5.3建立路径
第六章有限增量公式或估计
§6.1知识要素
§6.1.1基于直线单参数化的多元函数的有限增量公式
§6.1.2基于曲线单参数化的多元函数的有限增量估计
§6.1.3基于曲线单参数化的向量值映照的有限增量估计
§6.2建立路径
第七章曲线向量值映照
§7.1知识要素
§7.1.1曲线的切向量与切线
§7.1.2曲线的局部标架与其运动方程
§7.1.3曲线的局部参数化
§7.2应用事例
§7.3建立路径
第八章曲面向量值映照
§8.1知识要素
§8.1.1曲面的切平面与法向量
§8.1.2曲面的基本形式
§8.1.3曲面的Gauss曲率与平均曲率
§8.1.4曲面的局部标架与其运动方程
§8.1.5曲面的法截线与主法截线
§8.1.6曲面的局部参数化
§8.2应用事例
§8.2.1二维Monge型曲面的Gauss曲率及平均曲率
§8.2.2旋成曲面的Gauss曲率及平均曲率
§8.3建立路径
第九章隐映照定理
§9.1知识要素
§9.1.1Euclid空间中闭集上的压缩映照定理
§9.1.2由压缩映照定理获得隐映照定理
§9.1.3隐函数导数的计算方法
§9.2应用事例
§9.2.1隐函数的导数计算
§9.2.2隐映照的导数计算
§9.3拓广深化
§9.3.1基于压缩映照定理研究动力系统的解的存在性
§9.3.2基于压缩映照定理研究动力系统的解对初值的连续依赖性
§9.4建立路径
第十章隐映照定理的应用（曲线与曲面的隐式表示）
§10.1知识要素
§10.1.1隐映照定理
§10.1.2曲线的隐式表示
§10.1.3曲面的隐式表示
§10.2应用事例
§10.2.1曲线的隐式表示
§10.2.2曲面的隐式表示
§10.3建立路径
……
第十一章隐映照定理的应用（约束上的最值问题）
第十二章逆映照定理与微分同胚
第十三章隐映照定理与逆映照定理的综合应用
第二部分高维积分学
第十四章积分应用理论
第十五章积分分析理论（Darboux和分析）
第十六章积分分析理论（Lebesgue定理）
第十七章计算理论（Fubini定理）
第十八章计算理论（体积分换元公式）
第十九章广义积分与含参变量的积分
第二十章Gauss-Ostrogradskii公式
第二十一章Green公式
第二十二章Stokes公式
第二十三章场论基础
第三部分级数
第二十四章正项数项级数
第二十五章一般数项级数
第二十六章函数项级数
第二十七章幂级数
第二十八章Fourier级数
名词索引
插图目录
参考文献